|
Můžeme tedy usoudit, že čím menší bude časový úsek, na kterém budeme rychlost měřit, tím více se bude hodnota průměrné rychlosti blížit hodnotě aktuální rychlosti, matematicky to tedy můžeme zapsat jako limitu (následně derivaci):
<br />
:<math>v = \lim_{\Delta t \to 0}\left(\frac{\Delta s}{\Delta t}\right)=\frac{ds\mathrm{d}s}{dt\mathrm{d}t}</math><br />
Stejné pravidlo můžeme zavést z definice zrychlení:<br />
:<math>a_p = \frac{\Delta v}{\Delta t}</math>, kde '''''Δv je změna rychlosti'''''.<br />
:<math> a = \lim_{\Delta t \to 0} \left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right) = \frac{dv\mathrm{d}v}{dt\mathrm{d}t}</math><br />
Opačné vztahy získáme integrací:
=== Vyvození dále použitých vzorečků ===
Vztahy, které jsme si nyní napsali, se nám hodí při odvozování vzorečků pro přímočarý pohyb - především pro rovnoměrně zrychlený pohyb.
==== Rychlost ====
:<math>v = \int a(t) dt\mathrm{d}t</math>
:<math>\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a(t) dt\mathrm{d}t</math>
==== Dráha pohybu tělesa ====
:<math>s = \int v(t) dt\mathrm{d}t </math>
:<math>\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt\mathrm{d}t</math>
=== Jednotky ===
Jelikož každá fyzikální veličina má své jednotky, i v mechanice přímočarého pohybu hmotného bodu musíme veličinám přiřadit jednotky. Dráhu měříme v metrech (m), decimetrech (dm), kilometrech (km) atd. Základní jednotky dráhy jsou metry. Základními jednotkami času jsou sekundy. Z definice rychlosti vidíme, že rychlost bude mít jednotky 'metry za sekundu'. Další odvozenou veličinou je zrychlení:
:<math>[s] = \mathrm{m}</math>
:<math>[t] = \mathrm{s}</math>
:<math>[v] = \mathrm{ms}^{-1}</math>
:<math>[a] = \mathrm{ms}^{-2}</math>
<br>
U rychlosti můžeme narazit také na jednotky 'kilometry za hodinu' nebo 'míle za hodinu'. První zmíněné jednotky se používají na evropském kontinentě, druhé zmíněné jednotky na americkém kontinentě. Zkratky jsou kph, mph (kilometres per hour, miles per hours) a jednotky se zapisují jako:
:<math>[v] = \mathrm{kmh}^{-1}</math>
<br>
==== Převod mezi metry za sekundu a kilometry za hodinu ====
:<math>v = 1\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 1 *\cdot \frac{1000m1000\mathrm{m}}{3600s3600\mathrm{s}} =\frac{1}{3,6}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>
:<math>v = 1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 1\frac{0,001km001\mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}=3,6\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}</math>
== Speciální případy ==
[[Image:kola.GIF|thumb|right|Rovnoměrný přímočarý pohyb]]
Rovnoměrný přímočarý pohyb je pohyb po přímce se stálou [[rychlost]]í. Pokud přímočarý pohyb není rovnoměrný, bývá také označován jako ''[[nerovnoměrný přímočarý pohyb]]'' (jde tedy o pohyb s proměnnou rychlostí). Pro rovnoměrný přímočarý pohyb platí následující rovnost: <br>
:<math> a_ta_\mathrm{t} = a_na_\mathrm{n} = 0 ms^{-2} </math><br>
==== Kinematika ====
'''[[Rychlost]]''' rovnoměrného přímočarého pohybu:<br />je z definice konstantní, tedy rovna počáteční rychlosti tělesa:
: <math>v = v_0 + at</math><br> ▼
: <math> \Delta v = \int 0dt =0 v_0</math><br> ▼Uvažujeme-li, že zrychlení je nulové, můžeme pomocí integrálů, které jsme si odvodili v předchozí kapitole, určit hodnoty velikosti rychlosti a změny velikosti rychlosti na určitém časovém úseku:<br>
▲: <math>v = \int 0dt = v_0</math><br>
: <math>\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} 0dt = \left[0t + v_0\right]_{t_1}^{t_2} = v_0 - v_0 = 0 </math><br>
Můžeme si všimnout, že rychlost se nezměnila (a to jsme předpokládali u definice přímočarého rovnoměrného pohybu). To, že se rychlost nezměnila, nám dokazuje i hodnota aktuální rychlosti hmotného bodu, která je rovna vždy počáteční rychlosti tělesa.
'''[[Dráha (fyzika)|Dráha]]''' rovnoměrného přímočarého pohybu:<br />
:<math>s = s_0\int +v(t)dt v_0t= +\int v \ fracmathrm{ 1d} {2}at^2t = s_0 + vt</math><br> ▼Opět stačí dosadit hodnoty, které nám vyšly u rychlosti, do vzorce, který jsme si odvodili na začátku:<br>
:<math>\Delta s = \intint_{t_1}^{t^2} v(t)dt \mathrm{d}t = \intvt_2 v- dtvt_2 = s_0v\Delta + vtt</math><br>
:<math>\Delta s = \int_{t_1}^{t^2} v(t) dt = vt_2 - vt_2 = v\Delta t</math>
'''Závěr:'''<br>
Jediný vzoreček, který nám zde je užitečný, je přímo definice průměrné rychlosti (v případě tohoto pohybu je průměrná rychlost rychlostí stále aktuální):<br>
:<math>v = \frac{\Delta s}{\Delta t}</math>
==== Dynamika ====
KPodle dynamice[[první rovnoměrnéhoNewtonův pohybuzákon|prvního lzeNewtonova řícizákona]] pouzev to,rovnoměrném žepřímočarém napohybu základěsetrvává 2.těleso Newtonova(hmotný zákona platíbod), žena pokudkterý těleso/bodje ocelkové určitésilové hmotnostipůsobení nezrychluje (nemění směr ani velikost rychlosti)nulové, potétedy nabuď těleso/bod působížádné síly tak,nepůsobí ženebo jejich výsledná hodnota je nulová (výslednice je nulový vektor), nebo na těleso žádné síly nepůsobí.
=== Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb ===
[[Rovnoměrně zrychlený pohyb|Rovnoměrně zrychlený]] přímočarý pohyb je pohyb po přímce se stálým [[zrychlení]]m. Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je zvláštním případem nerovnoměrného přímočarého pohybu, kdy zrychlení je rovno[[konstanta|konstantní]] konstantě:ve <math>\existsvelikosti !i x\in\R:směru. a[[trajektorie|Trajektorií]] =je x</math>[[přímka]] nebo část přímky. Velikost rychlosti se mění [[přímá úměra|přímo úměrně]] s [[čas]]em. Směr rychlosti se nemění.
Zrychlení pohybu se nemění. Má-li zrychlení stejnou orientaci (hodnotu znaménka) jako směr pohybu tělesa, pak se rychlost tělesa zvyšuje a jedná se o ''[[zrychlený pohyb]]''. Má-li zrychlení opačnou orientaci (hodnotu znaménka) než směr pohybu tělesa, pak se rychlost tělesa snižuje a jedná se o ''[[zpomalený pohyb|pohyb zpomalený]]''. ▼Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je tedy pohyb, u kterého směr i velikost [[zrychlení]] zůstává [[konstanta|konstantní]], [[trajektorie|trajektorií]] je [[přímka]] nebo část přímky a velikost rychlosti se mění [[přímá úměra|přímo úměrně]] s [[čas]]em. Směr rychlosti se nemění.
▲Zrychlení pohybu se nemění. Má-li zrychlení stejnou orientaci (hodnotu znaménka) jako směr pohybu tělesa, pak se rychlost tělesa zvyšuje a jedná se o ''[[zrychlený pohyb]]''. Má-li zrychlení opačnou orientaci (hodnotu znaménka) než směr pohybu tělesa, pak se rychlost tělesa snižuje a jedná se o ''[[zpomalený pohyb|pohyb zpomalený]]''.
==== Kinematika ====
'''[[Rychlost]]''' rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu:<br />
Dosazením do obecných vztahů:
Opět platí obecné vztahy, které jsme si určili:
: <math>v = \int a(t)dt\mathrm{d}t = \int a dt\mathrm{d}t = v_0 + at</math><br>
: <math>\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a(t)dt\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} a dt\mathrm{d}t = at_2 - at_1 = a\Delta t</math><br>
Oba dva odvozené vzorečky nám budou užitečné. První nám říká, že aktuální rychlost bodu je rovna jeho počáteční rychlosti plus součinu času a zrychlení daného bodu. Oproti tomu druhý vzoreček námDruhý říká, o kolik se změnila rychlost tělesa mezi časem t<sub>1</sub> a časem t<sub>2</sub>.
'''[[Dráha (fyzika)|Dráha]]''' rovnoměrného přímočarého pohybu:<br />
Dosazením do obecných vztahů:
Dosaďme nyní opět do vzorce:
: <math>s = \int v(t)dt = \int (v_0+at) dt\mathrm{d}t = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2</math><br>
: <math>\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)dt\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} (v_0+at) dt\mathrm{d}t = \frac{a}{2}\left(t_2^2-t_1^2\right)</math><br>
'''Závěr'''
Odvodili jsme si základní vzorce pro práci s rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem:
<br>
▲:<math>v = v_0 + at</math><br>
▲:<math>s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2</math><br>
==== Dynamika ====
Podle [[2. Newtonův pohybový zákon|2. Newtonova pohybového zákona]] působí na těleso se stálým zrychlením stálá síla o velikosti:
<br>
:<math>\mathbf{F} = ma, a = m\fracmathbf{F}{ma}</math>
kde ''m'' je [[hmotnost]], ''a'' je zrychlení. ▼
Má-li působící síla směr ''stejný'' jako je směr pohybu, pak těleso ''zrychluje'', má-li síla směr ''proti'' pohybu, pak těleso ''zpomaluje''.
==Příklady==
=== Rovnoměrný přímočarý pohyb ===
Příkladem takového pohybu může být vlak jedoucí na určité dráze konstantní rychlostí v.
- početní příklad: Modré auto jede stálou rychlostí v = 20 ms<sup>-1</sup>, jakou rychlostí musí jet červené auto, které je o 20 metrů pozadu, aby modré auto dohodilo za 10 sekund?
: Víme tedy, že rychlost automobilu č. 1 je 20 m/s, má náskok 20 metrů a pojede dalších 10 sekund, spočteme tedy celkovou dráhu, kterou auto ujede:
:: <math>s = s_0 + vt = 20 + 20*10m = 220m</math>
: Aby druhé auto dohodilo toto první auto, musí ujet stejnou vzdálenost, tedy platí, že:
::<math>s = s_0 + vt</math>, kde s<sub>0</sub> = 0 m a s = 220 m (vzdálenost, kterou musí auto ujet za deset sekund.
::<math>v=\frac{s}{t}=\frac{220}{10}=22ms^{-1}</math><br>
Červené uto tedy musí jet rychlostí 22 m/S.
=== Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb ===
▲kde ''m'' je [[hmotnost]], '''''a ''''' je zrychlení.
Příkladem rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu může být rozjíždějící se [[motocykl|motorka]] nebo [[volný pád]].
Protože normálové zrychlení je nulové, musí mít výsledná síla stejný směr (bez ohledu na orientaci), jako rychlost pohybu, tedy působí v přímce pohybu. Má-li působící síla ''stejnou orientaci'' jako je směr pohybu, pak těleso ''zrychluje'', má-li síla ''orientaci opačnou'' než pohybu, pak těleso ''zpomaluje''.
- početní příklad: Vlak vyjíždí ze stanice, konstantní síla, která působí na vlak, aby zrychloval, je rovna dvojnásobku jeho hmotnosti, která činí 50 t. Jakou dráhu ujede vlak za čas t = 20s a jakou bude mít na konci tohoto času rychlost?
: Nejdříve si ze druhého Newtonova zákona zjistíme, jaká je hodnota zrychlení vlaku:
:: <math>F = 2m, F = ma, a = \frac{F}{m}=\frac{2m}{m} = 2 ms^{-2}</math><br>
:Když už známe hodnotu zrychlení, můžeme dopočítat obě zadané veličiny (dráhu i rychlost):
:: <math>s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + 0t + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}2*20^2m = 400 m</math><br>
:: <math>v = v_0 + at = 0 + at = 2 *20 ms^{-1} = 40ms^{-1}</math><br>
Vlak tedy za dvacet sekund svého rozjíždění ze stanice ujede 400 metrů a jeho rychlost na konci tohoto úseku bude 40 m/s.
== Související články ==
| 