Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin: Porovnání verzí

m
Odstranění linku na rozcestník ZF s použitím robota - Změněn(y) odkaz(y) na Zermelova-Fraenkelova teorie množin; kosmetické úpravy
m (Odstranění linku na rozcestník ZF s použitím robota - Změněn(y) odkaz(y) na Zermelova-Fraenkelova teorie množin; kosmetické úpravy)
 
== Vztah NBG a ZFC ==
'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější '''[[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]''' či '''[[ZFC]]''' (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o [[axiom výběru]]) — libovolný výrok o [[Množina|množinách]] je v '''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v '''[[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]''' — mluvíme tedy o teorii '''NBG''' jako o [[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''[[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]''' (říkáme také, že '''NBG''' a '''[[ZF]]''' jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.
 
Na rozdíl od '''[[ZFC]]''', jejímž objektem jsou pouze [[množina|množiny]], zatímco [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v '''NBG''' jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin — na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení — jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:
kde <math>V</math> je třída všech množin — [[univerzální třída]].
 
Na rozdíl od '''[[ZF]]''' neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) '''NBG''' nekonečný počet axiomů — nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů nahrazení|schématu axiomů nahrazení]] nebo [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů vydělení|schématu axiomů vydělení]].
 
== Axiomy ==
* axiom nahrazení: <math>(\forall F)((\forall y,e_1,e_2)((<y,e_1> \in F \and <y,e_2>\in F) \Rightarrow e_1=e_2) \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z \Leftrightarrow (\exists y)(y \in x \and <y,e>\in F)))</math>
 
Nutno dodat, že schéma existence tříd je možné nahradit konečně mnoha jednotlivými [[axiom]]y. V důsledku toho je '''NBG''' konečně axiomatizovatelná (na rozdíl od '''[[ZF]]''').
 
== Související články ==
 
{{Portály|Matematika}}
 
[[Kategorie:Axiomy a axiomatizace teorie množin|*]]
 
1 521 454

editací