Křivka: Porovnání verzí

Je-li ''M'' nějaký matematický prostor (například [[Eukleidovský prostor]], [[varieta (matematika)|varieta]], [[topologický prostor]]) a ''I'' [[Interval (matematika)|interval]] reálných čísel, pak křivkou <math>k</math> rozumíme [[spojitost|spojité]] [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] z ''I'' do ''M''. Toto se někdy také nazývá '''parametrická křivka'''. Pokud má smysl mluvit o [[derivace|derivaci]] ''k'' (t.j. pokud cílový prostor je [[Euklidův prostor]] nebo [[varieta (matematika)|hladká varieta]] a derivace existuje v každém bodě), nazývá se křivka '''hladká''', anebo '''diferenciální'''. Hladká křivka je '''regulární''', pokud její derivace není v žádném bodě nulová. Křivka se nazývá '''uzavřená''', pokud ''I'' je uzavřený interval ''[a,b]'' a <math>k(a)=k(b)</math>. Množina <math>\{k(x);\,x\in I\}</math> se nazývá '''obraz křivky'''. Mají-li složky <math>k_i</math> křivky ''k'' na otevřeném [[interval (matematika)|intervalu]] <math>(a,b)</math> spojité derivace až do <math>r</math>-tého řádu, pak říkáme, že se jedná o ''křivku <math>r</math>-té třídy''. Má-li křivka všechny derivace, říkáme někdy, že je třídy nekonečno, neboli někonečněnekonečně diferencovatelná.

Na neparametrické hladké křivce (t.j. množině, která je obrazem parametrické hladké křivky) můžmemůžeme zvolit dvě [[orientace]], což je volba směru, kterým se křivka pohybuje. Formálněji, je to volba bazebáze jejího (jednorozměrného) tečného prostoru v každém bodě. Tvoří-li uzavřená křivka hranici určité oblasti <math>\Omega</math>, pak řekneme, že je ''kladně orientovaná'' vzhledem k <math>\Omega</math>, pokud oblast <math>\Omega</math> zůstává po levé straně křivky (při pohybu po kladně orientované křivce jde o pohyb proti směru hodinových ručiček). Formálněji, křivka je kladně orientována, pokud normálový vektor k oblasti <math>\Omega</math> a tečný vektor ke křivce určen její orientací tvoří kladnou bázi tečného prostoru (souřadnice těchto vektorů napsány ve sloupcích vedle sebe tvoří [[matice|matici]], která má kladný [[determinant]]). V opačném případě se jedná o ''záporně orientovanou křivku''.

Na obrázku je prvních 6 iterací kontrukcekonstrukce Hilbertovy křivky. Hilbertova křivka je pak limitou těchto křivek. Je spojitá, ale není [[prostá funkce|prostá]]. Její složky jsou spojité funkce, které nemají derivaci v žádném bodě. Jiný známý příklad křivky, která vyplní čtverec, je tzv. [[Sierpinského křivka]].

* NeprázdnyNeprázdný [[hausdorfův prostor|hausdorfův]] [[topologický prostor]] ''X'' je spojitým obrazem intervalu ''[0,1]'' právě když je [[kompaktní prostor|kompaktní]], [[souvislý prostor|souvislý]], lokálně souvislý a [[separabilní prostor|separabliníseparabilní]].