Verze z 4. 2. 2006, 05:52 editovat Pasky (diskuse \| příspěvky) 2 129 editací m cestina ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 30. 9. 2006, 11:19 editovat zrušit editaci Pajs (diskuse \| příspěvky) 6 016 editací doplnění vlsatností, vnitřní a vnější body Přejít na další porovnání →
Řádek 1: '''Uzávěr množiny''' (angl. ''closure'') je nejmenší [[uzavřená množina]] [[topologický prostor\|topologického prostoru]], která danou [[Množina\|množinu]] obsahuje. Uzávěr <math>M</math> značíme většinou <math>\overline{M}</math>, popř. <math>\mathrm{cl} M</math>. == Definice == Řádek 10: : <math>\overline{M} = \{ x \in X: \forall U(x)\quad U(x) \cap M \neq \emptyset\}</math> ==Vnitřní a vnější body== Uzávěr množiny <math>\mathbf{A} \subset \mathbf{M}</math> [[metrický prostor\|metrického prostoru]] <math>(\mathbf{M},\rho)</math> lze také vyjádřit s pomocí [[rozdíl množin\|rozdílu množin]] jako <math>\mathbf{M} \backslash \mathrm{int}(\mathbf{M} \backslash \mathrm{A})</math>, kde <math>\mathrm{int} \mathbf{X}</math> označuje ''vnitřek množiny'' <math>\mathbf{X}</math>. Vnitřek množiny tvoří množina všech ''vnitřních bodů''. Bod <math>a \in \mathbf{X}</math> označíme jako vnitřní bod množiny <math>\mathbf{X} \subseteq \mathbf{M}</math>, pokud existuje takové <math>r > 0</math>, že pro množinu <math>\mathbf{B}(a,r)= \{x \in \mathbf{M}:\rho(a,x)<r\}</math> platí <math>\mathbf{B}(a,r) \subset \mathbf{X}</math>. Pokud platí <math>\mathbf{X} = \mathrm{int} \mathbf{X}</math>, pak se množina <math>\mathbf{X}</math> nazývá otevřená (v metrice <math<\rho</math>). Pro množiny <math>\mathbf{A} \subset \mathbf{M}, \mathbf{B} \subset \mathbf{M}</math> metrického prostoru <math>(\mathbf{M},\rho)</math> platí vztahy * <math>\mathrm{int} \mathbf{A} \subset \mathbf{A}</math> * <math>\mathrm{int} \, \mathrm{int} \mathbf{A} = \mathrm{int} \mathbf{A}</math> * <math>\mathrm{int} (\mathbf{A} \cap \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cap \mathbf{B}</math> * <math>\mathrm{int} (\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) \subset \mathbf{A} \cup \mathbf{B}</math> * pokud <math>\mathbf{A} \subset \mathbf{B}</math>, pak platí také <math>\mathrm{int} \mathbf{A} \subset \mathrm{int} \mathbf{B}</math> * každá otevřená [[podmnožina]] množiny <math>\mathbf{A}</math> je podmnožinou <math>\mathrm{int} \mathbf{A}</math> * množinu <math>\mathrm{int} \mathbf{A}</math> získáme jako [[sjednocení]] všech otevřených podmnožin množiny <math>\mathbf{A}</math>. Je-li <math>\mathbf{A} \subset \mathbf{M}</math> částí metrického prostoru <math>(\mathbf{M},\rho)</math>, pak vnitřek množiny <math>\mathbf{M} \backslash \mathbf{A}</math> nazveme ''vnějškem množiny'' <math>\mathbf{A}</math>. Body nacházející se ve vnějšku <math>\mathbf{A}</math> nazýváme ''vnějšími body'' množiny <math>\mathbf{A}</math>. Pokud existuje takové [[okolí\|okolí]] <math>\mathbf{U}</math> bodu <math>a \in \mathbf{A}</math>, že <math>\mathbf{U} \cap \mathbf{A} = \{a\}</math>, pak bod ''a'' nazýváme ''izolovaným bodem''. Jestliže každé okolí bodu <math>x \in \mathbf{M}</math> obsahuje prvek množiny <math>\mathbf{A} \subseteq \mathbf{M}</math> různý od ''x'', pak bod ''x'' se nazývá ''hromadným bodem'' množiny <math>\mathbf{A}</math>. Bod uzávěru je hromadným bodem množiny <math>\mathbf{A}</math> (pokud se nejedná o izolovaný bod). == Vlastnosti uzávěru == * Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. <math>\overline \mathbf{M} = \mathbf{M}</math>.▼ * Uzávěr prázdné množiny je [[prázdná množina]]. ▲Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru. * Uzávěr ~~prázdné~~celého ~~množiny~~<math>X</math> je ~~[[prázdná množina]], uzávěr celého~~ <math>X</math>, jetzn. <math>\overline X = X</math>. * Pro <math>\mathbf{A} \subseteq \mathbf{X}, \mathbf{B} \subseteq \mathbf{X}</math> platí <math>\mathbf{A} \subseteq \overline \mathbf{A}</math> <math>\overline \overline \mathbf{A} = \overline \mathbf{A}</math> <math>\overline {(\mathbf{A} \cap \mathbf{B})} = \overline \mathbf{A} \cap \overline \mathbf{B}</math> <math>\overline {(\mathbf{A} \cup \mathbf{B})} = \overline \mathbf{A} \cup \overline \mathbf{B}</math> pokud <math>\mathbf{A} \subset \mathbf{B}</math>, pak <math>\overline \mathbf{A} \subset \overline \mathbf{B}</math> je-li <math>\mathbf{A}</math> je podmnožinou uzavřené množiny <math>\mathbf{B}</math>, pak <math>\overline \mathbf{A} \subset \mathbf{B}</math> == Podívejte se také na == Řádek 23 ⟶ 57: [[Kategorie:Topologie]] [[en:Closure (topology)]]

Uzávěr množiny: Porovnání verzí