Aritmetická posloupnost: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace
Řádek 20:
=== Odvození vzorce pro součet prvních n členů ===
 
Součet prvních <math>n</math> členů aritmetické posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:
Předchozí vzorec lze odvodit následujícím způsobem.
 
:<math>s_n = a_1 + a_2 + a_{2k}\ldots + a_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + (2k-12d) + \cdotldots d+ = 2a_1a_1 + (2kn-1) \cdot d</math>,
Součet prvních <math>n</math> členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:
 
Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítaců:
:<math>s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n</math>,
 
:<math>s_n =(a_1 + (n-1)d) + (a_1 + a_2(n-2)d) + \ldots + a_n(a_1 + d) + a_1</math>,
Vezměme v úvahu nejprve součty sudého počtu prvních n členů, tedy <math>n = 2k</math>:
 
Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:
Uvažujme dvojice tohoto typu (první a poslední člen, druhý a předposlední, atd.) jako součty :
 
:<math>a_1s_n += a_{2k}n =\cdot [a_1 + a_1 +(2kn-1)d = 2a_1 + (2k-1) \cdot d]</math>,
 
:<math>a_2 + a_{2k-1}s_n = a_1\frac +{n d + a_1 + (2k-2) \cdot d = 2a_1(a_1 + (2k-1a_n)}{2} \cdot d</math>,.
 
: …
 
:<math>a_k + a_{2k-(k-1)} = a_1 + (k-1) \cdot d + a_1 +(2k-(k-1)-1)) \cdot d = 2a_1 + (2k-1) \cdot d</math>,
 
Všimněme si, že takovýchto dvojic je právě <math>k</math> a jejich jednotlivé součty jsou stále stejné, tedy celkový součet můžeme vyjádřit takto: libovolná z těchto dvojic (vezměme tu první) krát <math>k</math> (počet takovýchto dvojic).
:<math>s_n = k \cdot (a_1 + a_{2k}) = \frac {n \cdot (a_1 + a_n)}{2} </math>
 
Pro liché <math>n</math> bude úvaha obdobná, položme <math>n = 2k+1</math>:
 
:<math>a_1 + a_{2k+1} = a_1 + a_1 +(2k)d = 2a_1 + (2k) \cdot d</math>,
:<math>a_2 + a_{2k} = a_1 + d + a_1 + (2k-1) \cdot d = 2a_1 + (2k) \cdot d</math>,
: …
:<math>a_k + a_{2k-(k-2)} = a_1 + (k-1) \cdot d + a_1 +(2k-(k-2)-1)) \cdot d = 2a_1 + (2k) \cdot d</math>.
 
Tedy opět vycházejí u <math>k</math> takovýchto dvojic stejné součty, ale nesmíme zapomenout na <math>k+1</math> člen, který nemá podle tohoto schématu jiný člen do dvojice, sečtěme ve dvojici <math>a_{k+1} + a_{k+1} </math>:
 
:<math>a_{k+1} + a_{k+1} = a_1 + k \cdot d + a_1 + k \cdot d = 2a_1 + (2k) \cdot d</math>.
 
Opět vyšel stejný součet jako u předchozích dvojic. Do celkového součtu tedy musíme zahrnout <math>k + \frac {1}{2}</math> dvojic:
:<math>s_n = (k + \frac {1}{2}) \cdot (a_1 + a_{2k+1})</math>
 
Po dosazení za <math>k</math> ze vztahu <math>n = 2k+1</math> dostáváme stejný vzorec jako pro součet sudého počtu členů:
 
:<math>s_n = \frac {n \cdot (a_1 + a_n)}{2} </math>
 
tudíž tento vzorec platí pro libovolný počet prvních <math>n</math> členů.
 
Tento vzorec odvodil ve svých devíti letech (v roce [[1786]]) německý matematik [[Carl Friedrich Gauss]].
 
== Příklad ==