|
'''Pythagorejské koma''' je rozdíl mezi dvanácti čistými [[kvinta (hudba)|kvintami]] a sedmi [[oktáva (hudba)|oktávami]]. V laděních používajících [[čisté ladění|čisté intervaly]], v [[přirozené ladění|přirozeném ladění]], se totiž dvanáctásoučet čistádvanácti kvintačistých kvint nerovná sedmésedmi oktávěoktávám. Příklad pro základní tón ''velké C'': dvanáctádvanáct kvintakvint h#<sup>5</sup> ('''C'''-G-d-a-e<sup>1</sup>-h<sup>1</sup>-f#<sup>2</sup>-c#<sup>3</sup>-g#<sup>3</sup>-d#<sup>4</sup>-a#<sup>4</sup>-e#<sup>5</sup>-'''h#<sup>5</sup>''') se nerovná sedmésedmi oktávěoktávám c<sup>6</sup> ('''C'''-c-c<sup>1</sup>-c<sup>2</sup>-c<sup>3</sup>-c<sup>4</sup>-c<sup>5</sup>-'''c<sup>6</sup>'''). Vyplývá to z důvodutoho, že čistá kvinta má poměr frekvencí 3:2 a oktáva 2:1. Matematicky vyjádřeno seje tedy pythagorejské koma nastřádá na osdesáti čtyřech dvakrát různě definovaných [[půltón|půltónech]] jako velmi malý [[Interval (hudba)|interval]], s poměrem [[kmitočet|kmitočtů]]
:<math> \frac{(3:2)^{12}}{(2:1)^7} = \frac{3^{12}}{2^{12+7}} = \frac{531441}{524288} \approx 1{,}36401364\;\mathrm{%\;(zvuk\;[Hz])}.</math>
Po přepočtu do centů:
V současnosti nejrozšířenějším [[rovnoměrně temperované ladění|rovnoměrně temperovaném ladění]] se již pythagorejské koma nevyskytuje, protože kvinty nejsou čisté, ale temperované s poměrem frekvencí 2<sup>7/12</sup>:1. Dvanáctá kvinta se pak rovná sedmé oktávě: ▼:<math> \frac{(2^{10/12}:1)^{12}}{(2:1)^7} = \frac{2^{7}}{2^{7}} = \frac{1}{1}</math> ▼
Při temperování této relativní chyby kmitočtu zvuku jejím rovnoměrným rozložením jí pak už lze uvažovat i na intervalu jediné oktávy, takže po přepočtu do centů, do [[logaritmus|logaritmické]] oblasti pří vnímanání oktáv jako dvojnásobků kmitočtu, dosahuje tónová odchylka proti [[čisté ladění|přirozenému ladění]], Pythagorejské koma,
:<math>1200 \;.\; \frac{log(1{,}01364)}{log(2)} \approx 23{,}46001\;\mathrm{centu}</math>
průměrněpřibližně 23,46 centu, kterýkoli tón tedy téměř čtvrtinyčtvrt půltónu.
== Příklad chyby z rovnoměrného temperování ==
{{Podrobně|Rovnoměrně temperované ladění}}
Porovnejme třeba v oktávě od a<sup>2</sup> (440 Hz) chybu desátého půltónu g<sup>2</sup> (770 Hz) definovaného jednou lineární projekcí [[alikvotní tón|alikvotních tónů]], podruhé rovnoměrně temperovaně pro logaritmické vnímání kmitočtů:
* poměr a chyba rovnoměrně temperovaného kmitočtu proti lineárním násobkům [[Fourierova řada|Fourierovy řady]]:
:<math>\frac{2^{10/12}}{770:440} = \frac{1{,}78179}{1{,}75} \approx 1{,}817\;\mathrm{%\;(zvuk\;[Hz])}</math>
* a vyjádření této chyby v centech oktávy:
:<math>1200 \;.\; \frac{log(1{,}01817)}{log(2)} \approx 31{,}1741\;\mathrm{centu}.</math>
== Výhody a nevýhody ==
Plynulým rozložením tohoto komatu oktávy tedy zavádíme průměrnou chybu cca čtvrt půltónu, nikoli však nanejvýše: Stejně jako na oktávách je chyba minimální, nulová, muže pak zas chyba být na jiných temperovaných tónech naopak ještě mnohem větší, a to i v rámci jediné hlavní oktávy.
Výhodou tohoto temperování však je, že chyby při posunu rozsahu do vzdálenějších oktáv nijak nenarůstají: Zůstávají na každém jednotlivém tónu stále stejné. Tím je vyřešena potíž s disonancí hudby při hře ve velkém tónovém rozsahu, a tedy i naplněn hlavní účel temperování. Proto jsou chyby kolem průměrného pythagorijského komatu v praxi obecně dobře snesitelné.
▲V současnosti nejrozšířenějším [[rovnoměrně temperované ladění|rovnoměrně temperovaném ladění]] se již pythagorejské koma nevyskytuje, protože kvinty nejsou čisté, ale temperované , s poměrem frekvencí 2<sup>7/12</sup>:1. Dvanáctá kvinta se pak rovná sedmé oktávě:
Nicméně by toto koma v některých zvláštních případech mohlo vadit, například při [[ladění]] [[varhany|varhan]]: Pak se pro odstranění disonancí ve vyšších oktávách musí použít jiné metody, jiná ladění nebo temperování.
▲:<math> \frac{(2^{ 107/12}:1)^{12}}{(2:1)^7} = \frac{2^{7}}{2^{7}} = \frac{1}{1}</math>
== Související články==
| 