Ordinální aritmetika: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Dopsani, jeste asi sem tam neco zformatovat... |
m render a oprava vzorcu |
||
Řádek 4:
==Definice ordinálního součtu a součinu==
Jsou-li <math> \alpha \,\!</math> a <math> \beta \,\!</math> dvě ordinální čísla, pak:
* jako <math> \alpha + \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> ( {0} \times \alpha ) \cup ( {1} \times \beta ) </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]]
* jako <math> \alpha . \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> \beta \times \alpha </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]].
Typem [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádané množiny]] se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací <math> \isin </math> [[Izomorfismus|izomorfní]] s touto množinou - jedním s poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.
Řádek 17:
<math> ( \{ 0 \} \times \{ 0,1,2 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1 \}) = </math><br />
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} = </math><br />
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!</math><br />
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomně.
Součet <math> 1 + \omega_0 \,\!</math> (jako <math> \omega_0 \,\!</math> se značí množina všech přirozených čísel)<br />
<math> ( \{ 0 \} \times 1) \cup ( \{ 1 \} \times \omega_0 ) = </math><br />
<math> ( \{ 0 \} \times \{ 0 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1,2,3,... \} ) = </math><br />
<math> \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} = </math><br />
<math> \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!</math><br />
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je <math> \omega_0 \,\!</math>, takže <math> 1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!</math>. Tady už je to s tou povědomostí je horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.
Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat <math> \omega_0 + 1 \,\!</math>. Dojde k překvapivému zjištění:<br />
<math> 1 + \omega_0 = \omega_0 < \omega_0 + 1 \,\!</math>
===Příklady součinu dvou ordinálních čísel===
Součin 3.2: <br />
<math> 2 \times 3 = \{ 0,1 \} \times \{ 0,1,2 \} = </math><br />
<math> \{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!</math><br />
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.
Součin <math> 2.\omega_0 \,\!</math><br />:
<math> \omega_0 x 2 = \{ 0,1,2,... \} x \{ 0,1 \} = \,\! </math><br />
<math> \{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\! </math><br />
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je <math> \omega_0 \,\!</math>.
Obrátím-li poslední příklad na <math> omega_0 . 2 \,\!</math>, dostávám množinu<br />
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2],...,[1,0],[1,1],[1,2],... \} \,\!</math>, <br />
jejímž typem již není <math> \omega_0 \,\!</math>, ale vyšší ordinální číslo <math> \omega_0 + \omega_0 = \omega_0 . 2 \,\!</math>
Rozhodně opět <math> 2 . \omega_0 < \omega_0 . 2 \,\! </math>.
==Vlastnosti ordinálního součtu a součinu==
Řádek 53:
<math> ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma) </math><br />
Opačně to ale neplatí, protože například:
<math> (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 </math> - viz předchozí příklady.
Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):<br />
* <math> \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha \,\!</math>
* <math> \alpha . 0 = 0 . \alpha = 0 \,\!</math>
* <math> \alpha . 1 = 1 . \alpha = \alpha \,\!</math>
* <math> \alpha + ( \beta + \gamma) = ( \alpha + \beta) + \gamma \,\!</math>
* <math> \alpha . ( \beta . \gamma) = ( \alpha . \beta) . \gamma \,\!</math>
A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:<br />
Pro každé dva ordinály <math> \alpha, \beta
<math> \alpha = \beta . \gamma_1 + \gamma_2 \,\!</math>
==Definice ordinální mocniny==
'''Ordinální mocnina''' mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:<br />
# <math> \alpha^0 = 1 \,\!</math>
# <math> \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>
# pro [[limitní ordinál]] <math> \beta \,\!</math> je <math> \alpha^{\beta} = sup \{ alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math> - sup v tomto výrazu znamená [[supremum]] dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací <math> \isin </math>
==Vlastnosti ordinální mocniny==
Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:<br />
* <math> 0^0 = 1 \,\!</math>
* <math> 0^{\alpha} = 0 \,\!</math> pro <math> \alpha > 0 \,\!</math>
* <math> 1^{\alpha} = 1 \,\!</math>
* <math> \alpha^1 = \alpha \,\!</math>
* <math> \alpha^2 = \alpha . \alpha \,\!</math>
A především:
* <math> \alpha^{\beta + \gamma} = \alpha^{\beta} . \alpha^{\gamma} \,\!</math>
* <math> (\alpha^{\beta})^{\gamma} = \alpha^{\beta.\gamma} \,\!</math>
==Mocninný rozvoj ordinálního čísla==
Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ <math> \omega_0 \,\!</math> - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:
Je-li <math> \omega = \omega_0 \,\!</math> množina přirozených čísel a <math> \alpha \,\!</math> libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla <math> k, m_0, m_1,...,m_k \,\!</math> a ordinály <math> \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\!</math> takové, že platí:<br />
<math> \alpha = \omega^{\beta_0}.m_0 + \omega^{\beta_1}.m_1 + ... + \omega^{\beta_k}.m_k \,\!</math>
Tento zápis nazýváme "Cantorův normální tvar" ordinálního čísla.
| |||