Axiom výběru: Porovnání verzí

Přidáno 2 350 bajtů ,  před 15 lety
Format, nadpisy, doplneni ekvivalentnich tvrzeni, motivace pro prijeti a odmitnuti
m (robot: stylistické, typografické a kódové korekce podle specifikace)
(Format, nadpisy, doplneni ekvivalentnich tvrzeni, motivace pro prijeti a odmitnuti)
==Formulace axiomu==
'''Axiom výběru''' (ozn. '''(AC)''') je [[axiom]]em často přidávaným k obvyklým axiomům [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelovy teorie množin]] (ZF). Poprvé byl formulován [[Ernst Zermelo|Ernstem Zermelem]] v roce [[1904]].
 
:<math>(\forall I\neq \varnothing) (\forall i) (i\in I \implies A_{i} \neq \varnothing) \implies (\exists f (f\ \mbox{je funkce} \and \operatorname{dom}(f)=I \and (\forall i) (i \in I \implies f(i) \in A_{i})))</math>
 
==Motivace pro přijetí AC==
Důležitou vlastností (AC) je to, že umožňuje ke každému souboru množin získat soubor jejich prvků, z každé množiny jeden, a to bez znalosti jakéhokoli algoritmu, kterým bychom výběr prvků mohli provést, pouze z předpokladu neprázdnosti souboru i jednotlivých množin (tj. nekonstruktivně).<br />
Uvědomme si, že na konečném souboru množin je (AC) snadno dokazatelný a i zdravý selský rozum nám říká, že vybrat z každé hromady kamení jeden kámen není žádný problém. Problémem začíná být až nekonečný soubor množin a to především soubory "hodně nekonečné" ([[Nespočetná množina|nespočetné]], bez [[Dobře uspořádaná množina|dobrého uspořádání]]).
 
V některých odvětvích [[matematika|matematiky]], zejména v nekonečné [[kombinatorika|kombinatorice]], ale například i v [[matematická analýza|matematické analýze]], se (AC) ukazuje jako zcela nezbytný předpoklad pro rozvoj těchto disciplín.<br Obecně se však mezi matematiky vedou spory o jeho korektnosti (právě kvůli jeho nekonstruktivnosti) (viz [[konstruktivismus]])./>
S (AC) je ekvivalentní řada principů teorie množin, které zásadním způsobem "učesávají" svět teorie množin - neznámějšími z nich jsou [[Princip maximality]] a [[Princip dobrého uspořádání]]. Přijetím axiomu výběru se tedy svět teorie množin stává (z pohledu jeho příznivců) přehlednějším, ale ne zas tolik, aby přestal být zajímavým.
 
==Motivace pro odmítnutí AC==
(AC) je [[bezespornost|bezesporný]] neboli [[konzistentnost|konzistentní]] s ostatními [[axiom]]y Zermelo-Fraenkelovy [[teorie množin]] (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom [[model (logika)|modelu]] [[teorie množin]], a to v [[univerzum konstruovatelných množin|univerzu konstruovatelných množin]], což dokázal v roce [[1940]] [[Kurt Gödel]]. V tomto [[model]]u platí dokonce [[axiom silného výběru]] a dále například [[zobecněná hypotéza kontinua]].
Odpůrci zařazení (AC) mezi standardní axiomy teorie množin (například [[Konstruktivismus|konstruktivisté]]) poukazují na jeho odlišný charakter od ostatních podobných axiomů teorie množin, které obvykle postulují možnost vytvoření nové množiny z již existujících množin jednoduchým a přehledným způsobem (viz [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom sumy|axiom sumy]], [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|axiom potence]], [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom dvojice|axiom dvojice]]). Na rozdíl od nich (AC) nedává žádnou představu o tom, jak výběrová funkce (viz formulace axiomu) vypadá - je tedy spíše "čistě existenční" než-li "konstrukční".
Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je nezávislý na axiomech ZF. Přidáním negace (AC) k ZF však dostaneme teorii již s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické [[Heineho věta|Heineho věty]]).
 
Druhým argumentem je, že (AC) příliš omezuje rozmanitost objektů ve světě teorie množin - podle [[Princip dobrého uspořádání|principu dobrého uspořádání]] ekvivalentního s (AC)lze každou množinu uspořádat tak, aby byla [[Izomorfismus|izomorfní]] s některým [[Ordinální číslo|ordinálním číslem]] - říkám tak vlastně "ve světě teorie množin nežijí obludy, které by se nedaly zkrotit (tj. [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádat]]).<br />
 
Dalo by se říci, že svět ZF s (AC) stojí někde na půli cesty mezi rozmanitým, ale hůře popsatelným a použitelným světem ZF bez (AC), a mezi příliš omezeným a zjednodušeným, ale zato dokonale přehledným světem ZF s [[Axiom konstruovatelnosti|axiomem konstruovatelnosti]].
 
 
==Nezávislost AC na axiomech ZF==
(AC) je [[bezespornost|bezesporný]] neboli [[konzistentnost|konzistentní]] s ostatními [[axiom]]y Zermelo-Fraenkelovy [[teorie množin]] (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom [[model (logika)|modelu]] [[teorie množin]], a to v [[univerzumKonstruovatelná konstruovatelných množinmnožina|univerzu konstruovatelných množin]], což dokázal v roce [[1940]] [[Kurt Gödel]]. V tomto [[model]]u platí dokonce [[axiom silného výběru]] a dále například [[zobecněná hypotéza kontinua]].
Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je [[Nezávislost (matematika)|nezávislý]] na axiomech [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|ZF]]. Přidáním negace (AC) k ZF však dostaneme teorii již s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické [[Heineho věta|Heineho věty]]).
 
[[Kategorie:Teorie množin]]
5 102

editací