Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin: Porovnání verzí

'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější '''[[ZF]]''' či '''[[ZFC]]''' (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o [[axiom výběru]]) - libovolný výrok o [[Množina|množinách]] je v '''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v '''[[ZF]]''' - mluvíme tedy o teorii '''NBG''' jako o [[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''[[ZF]]''' (říkáme také, že '''NGBNBG''' a '''[[ZF]]''' jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.

Na rozdíl od '''[[ZFC]]''', jejímž objektem jsou pouze [[množina|množiny]] a [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v '''NBG''' jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:<br />

Někdy se k axiomům NGB'''NBG''' přidává ještě takzvaný silný axiom výběru, či [[axiom silného výběru]], výsledná teorie se pak značí '''NGBNBG+AS'''. Axiom silného výběru lze formálně zapsat následujícím způsobem (axiom silného výběru tedy postuluje, že všechny vlastní třídy mají tutéž mohutnost):<br />

<math> \neg Set(X) \Leftrightarrow ( \| xX \| = \| V \|)</math><br />, kde V je třída všech množin - [[univerzální třída]]

Na rozdíl od '''[[ZF]]''' neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) '''NBG''' nekonečný počet axiomů - nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů nahrazení|schématu axiomů nahrazení]] nebo [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů vydělení|schématu axiomů vydělení]].