Pseudoinverze matice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Moore-Penroseova pseudoinverze: par drobnosti |
dalsi pseudoinverze |
||
Řádek 1:
{{pracuje se}}
'''Pseudoinverzní matice''' nebo též '''zobecněná inverze''' se používá ke zobecnění pojmu [[inverzní matice]] v případech, kdy matice <math>\mathbf{A}</math> je čtvercová singulární, nebo obdélníková, tedy v případech, kdy klasická inverze neexistuje
== Moore-Penroseova pseudoinverze ==
Řádek 24:
:<math>\mathbf{A}^+= \mathbf{V}_r\mathbf{\Sigma}_r^{-1}\mathbf{U}_r^T.</math>
Chápeme-li původní matici jako lineární zobrazení <math>\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m</math> a provedeme-li jeho restrikci na <math>[\mathcal{N}(\mathbf{A})]^\perp\equiv\mathcal{R}(\mathbf{V}_r)\longrightarrow\mathcal{R}(\mathbf{A})\equiv\mathcal{R}(\mathbf{U}_r)</math>, kde je bijektivní, pak Moore-Penroseova pseudoinverze reprezentuje jeho inverzi.
=== Vlastnosti ===
Řádek 57 ⟶ 59:
Je důležité si uvědomit, numerický aspekt celého výpočtu, a sice, že výpočet pseudoinverzní matice může být v obecném případě velmi náročný (je třeba spočítat singulární rozklad), v případě kdy má matice plnou sloupcovou nebo řádkovou hodnost, lze použít výpočetně rychlejší vztahy <math>(\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^T</math>, respektive <math>\mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T)^{-1}</math>, výsledek výpočetu pak ovšem může být silně ovlivněn (zcela zničen) vlivem zaokrouhlovacích chyb.
== Další zobecněné inverze odvozené od Moore-Penroseových podmínek ==
Očíslujeme-li Moore-Penroseovy podmínky v pořadí jak jsou výše uvedeny, můžeme zavést následující zobecněné inverze podle toho, které z podmínek jsou splněny:
* (1)-inverze, kterou značíme <math>\mathbf{A}^{(1)}</math>,
* (1,2)-inverze, kterou značíme <math>\mathbf{A}^{(1,2)}</math>,
* (1,2,3)-inverze, kterou značíme <math>\mathbf{A}^{(1,2,3)}</math>,
* (1,2,4)-inverze, kterou značíme <math>\mathbf{A}^{(1,2,4)}</math>,
* (1,2,3,4)-inverze, kterou značíme <math>\mathbf{A}^{(1,2,3,4)}\equiv\mathbf{A}^+</math>.
Uvažujeme-li shora uvedený singulární rozklad matice <math>\mathbf{A}</math>, pak platí
: <math>\mathbf{A}^{(1)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&\mathbf{K}\\\hline\mathbf{L}&\mathbf{M}\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T,</math>
pro libovolné matice <math>\mathbf{K}\in\mathbb{r\times(m-r)}</math>, <math>\mathbf{l}\in\mathbb{(n-r)\times r}</math>, <math>\mathbf{M}\in\mathbb{(n-r)\times(m-r)}</math>.
(1,2)-inverze je taková (1)-inverze, pro kterou platí <math>\mathbf{M})=\mathbf{L}\mathbf{\Sigma}\mathbf{K}</math>.
: <math>\mathbf{A}^{(1,2)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&0\\\hline\mathbf{L}&\mathbf{L}\mathbf{\Sigma}\mathbf{K}\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T,</math>
(1,2,3)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou <math>\mathbf{K}=0</math>, tedy
: <math>\mathbf{A}^{(1,2,3)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&0\\\hline\mathbf{L}&0\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T.</math>
(1,2,4)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou <math>\mathbf{L}=0</math>, tedy
: <math>\mathbf{A}^{(1,2,3)}=[\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r^{-1}&\mathbf{K}\\\hline0&0\end{array}\right][\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]^T.</math>
(1,2,3,4)-inverze je výše zmíněná Moore-Penroseova pseudoinverze.
== Drazinova pseudoinverze ==
== Související články ==
| |||