Pseudoinverze matice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Moore-Penroseova pseudoinverze: par drobnosti |
|||
Řádek 14:
které se nazývají Moore-Penroseovy podmínky. (Všimněme si, že pro čtvercovou regulární matici a její inverzi jsou všechny podmínky splněny triviálně.)
=== Výpočet, alternativní definice ===
Nechť <math>\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>, <math>\mathrm{rank}(\mathbf{A})=r</math>. Uvažujme [[singulární rozklad]]
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^T=[\mathbf{U}_r|\mathbf{U}_0]\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{\Sigma}_r&0\\\hline0&0\end{array}\right][\mathbf{V}_r|\mathbf{V}_0]^T = \mathbf{U}_r\mathbf{\Sigma}_r\mathbf{V}_r^T,</math>
pak
=== Vlastnosti ===
Řádek 31 ⟶ 41:
=== Využití ===
Uvažujme lineární approximační problém
▲<math>\mathbf{A}^{+} = (\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{T}</math>,
: <math>\mathbf{A}\mathbf{X}\approx \mathbf{B}, \qquad \text{kde} \qquad \mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}, \; \mathrm{rank}(\mathbf{A})=r, \; \mathbf{X}\in\mathbb{R}^{n\times d}, \; \mathbf{B}\in\mathbb{R}^{m\times d},</math>
pak
je řešení ve smyslu [[metoda nejmenších čtverců|nejmenších čtverců]], má-li matice <math>\mathbf{A}</math> lineárně závislé sloupce, pak je to navíc řešení minimální v normě. Tedy,
<math>\mathbf{A}^{T}c = \mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\mathbf{z}</math>,▼
▲: <math>\min_{\mathbf{
navíc <math>\mathbf{X}_{LS}</math> má minimální normu mezi všemi <math>\mathbf{X}</math>, které výraz vlevo minimalizují.
Je důležité si uvědomit, numerický aspekt celého výpočtu, a sice, že výpočet pseudoinverzní matice může být v obecném případě velmi náročný (je třeba spočítat singulární rozklad), v případě kdy má matice plnou sloupcovou nebo řádkovou hodnost, lze použít výpočetně rychlejší vztahy <math>(\mathbf{A}^T\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^T</math>, respektive <math>\mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T)^{-1}</math>, výsledek výpočetu pak ovšem může být silně ovlivněn (zcela zničen) vlivem zaokrouhlovacích chyb.
== Další zobecněné inverze ==
|