Gramova–Schmidtova ortogonalizace: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Algoritmus: formulace 2 |
|||
Řádek 9:
:<math>\mathrm{span}\{a_1,\ldots,a_n\}=\mathrm{span}\{q_1,\ldots,q_n\},\qquad \langle q_k,q_j\rangle=q_j^Tq_k = \delta_{k,j}</math>
Algoritmus danou sadu vektorů prochází postupně přičemž v každém kroku vygeneruje nový vektor hledané báze. Omezíme-li se pouze na první vektor,
:<math>a_1 = q_1r_{11},\qquad \text{kde}\quad r_{11}=\|a_1\|_2,</math>
:<math>a_2 = q_1r_{12} + q_2r_{22},</math>
kde <math>q_2</math> je nějaký nový vektor takový, že <math>q_1^Tq_2=0,\;\|q_2\|_2=1</math>. Po pronásobení přechozího vztahu <math>q_1^T</math> zleva,
Řádek 62:
Označíme-li <math>Q_{k}=[q_1,\ldots,q_{k}]\in\mathbb{R}^{m\times k},\;Q_{k}^TQ_{k}=I_{k}</math>, lze vztah pro ortogonalizaci vektoru <math>a_{k+1}</math> psát pomocí projektorů dvěma matematicky ekvivalentními způsoby
:<math>p := (I_m-Q_{k}Q_{k}^T)a_{k+1}=(I_m-q_kq_k^T)\ldots(I_m-q_2q_2^T)(I_m-q_1q_1^T)a_{k+1}.</math>
První projekce odpovídá výpočtu pomocí CGS, druhá postupná výpočtu pomocí MGS. Je zřejmé že CGS ortogonalizace (projekce) se počítá paralelně do všech směrů najednou, kdežto sekvenční ortogonalizace (projekce) MGS umožňuje v <math>j</math>-tém kroku částečně eliminovat chyby vzniklé zaokrouhlováním v předchozích krocích <math>(j-1),\ldots,2,1</math>.
Řádek 72:
Srovnáním sloupcových vektorů <math>a_k,\;q_j</math> a koeficientů <math>r_{j,k}</math> do matic,
:<math>A=[a_1,\ldots,a_n],\quad Q=[q_1,\ldots,q_n]\in\mathbb{R}^{m\times n},\quad R=\left[\begin{array}{cccc}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots&r_{1,n} \\ 0&r_{2,2}&\ldots&r_{2,n}\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\ldots&0&r_{n,n}\end{array}\right]\in\mathbb{R}^{n\times n},</math>
kde <math>Q^TQ=I_n</math> a <math>R</math> je čtvercová regulární matice dostáváme
| |||