Kvantový harmonický oscilátor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m r2.7.1) (robot přidal: el:Αρμονικός Ταλαντωτής (Κβαντομηχανική) |
m r2.7.2) (robot změnil: el:Αρμονικός ταλαντωτής (Κβαντομηχανική); kosmetické úpravy |
||
Řádek 39:
:<math>\Psi(\xi) \approx A^\frac{-\xi^2}{2} \,.</math>
===
Mimo [[asymptota|asymptotickou]] oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty <math>\xi</math>, znamená předpokládat, že <math>A</math> na <math>\xi</math> závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovy rovnice]] je ve tvaru
Řádek 50:
:<math>A(\Psi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k \,.</math>
Neznámé koeficienty <math>a_k</math>
:<math>a_k = \frac{(1-\lambda)(5-\lambda)...(2k-3-\lambda)}{k!}a_0 \,,</math> pro k=2,4,6,...
:<math>a_k = \frac{(3-\lambda)(7-\lambda)...(2k-3-\lambda)}{k!}a_1 \,,</math> pro k=3,5,7,...
Řádek 57:
:<math>\lambda = 2n+1 \,,</math> pro n=0,1,2,...
===
S ohledem na předešlý vztah a rovnici <math>\lambda = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru<ref>{{Citace monografie
| příjmení=Skála
Řádek 76:
== Srovnání klasického a kvantového oscilátoru ==
* Ze vztahu <math>E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)</math> můžeme odvodit, že energie kvantového oscilátoru je kvantována a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
* Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
* Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v klasické mechanice stát nemůže.
* Rozdíl nastává i u určení kinetické a potenciální energie, kdy u klasického oscilátoru je můžeme určit současně, kdežto v kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie „nekomunikují“.
* Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
* Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde <math>E<V(x)</math>. Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.
== Související články ==
Řádek 98:
[[de:Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)]]
[[el:Αρμονικός
[[en:Quantum harmonic oscillator]]
[[es:Oscilador armónico cuántico]]
| |||