Axiomatická teorie množin: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m →Goedelovy věty a nedokazatelná tvrzení: - omylem vložená duplicita |
m →Jednotlivé systémy: dokončení nezlomitelných mezer |
||
Řádek 127:
== Jednotlivé systémy ==
Exituje několik různých systémů axiomatizace teorie množin s
=== Zermelova-Fraenkelova teorie množin ===
{{Hlavní článek|Zermelova-Fraenkelova teorie množin}}
'''Zermelova-Fraenkelova teorie množin''' je dnes neužívanější ze systémů axiomatické teorie množin{{Zdroj?}}, která je sama o
Mezi v
Je založena na těchto axiomech<ref name="BŠ axiomy ZF">{{Citace monografie
Řádek 173:
}}</ref><ref>[http://us.metamath.org/mpegif/axsep.html Metamath Proof Explorer, Theorem axsep].</ref> Tyto axiomy jsou důležité pro dílčí axiomatizace ([[Zermelova teorie množin]] a [[Fraenkelova teorie množin]])<ref name="BŠ axiomy ZF" />.|group="pozn"}}:
* '''Axiom extenzionality''': Množiny, které mají stejné prvky, se rovnají.
* '''Schéma axiomů nahrazení''': Je-li F(x,y) formule jazyka teorie množin v
* '''Axiom dvojice''': Pro každé dvě množiny a,b existuje množina c obsahující právě tyto dvě množiny.
* '''Axiom sumy''': Pro každou množinu a existuje množina b, která obsahuje právě všechny prvky prvků množiny a.
Řádek 180:
* '''Axiom fundovanosti''': <math>\scriptstyle (\forall a)(a \neq \emptyset \implies (\exists b)(b \in a \and b \cap a = \emptyset))</math>
==== Zermelova-Fraenkelova teorie množin s
{{Hlavní článek|ZFC}}
Zkratkou '''ZFC''' je označována axiomatická soustava teorie množin, kterou tvoří axiomy Zermelo-Fraeneklovy teorie množin a [[axiom výběru]] (zkratka AC - z
* '''Axiom výběru''': Na každé množině existuje [[selektor]].<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Balcar
Řádek 206:
=== Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin ===
{{Hlavní článek|Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin}}
'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se z
| příjmení = Szudzik
| jméno = Matthew
Řádek 215:
| místo =
| jazyk = anglicky
}}</ref> Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v
Na rozdíl od '''ZFC''', jejímž objektem jsou pouze množiny, zatímco [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v
: <math>\scriptstyle Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y)</math>.
Někdy se k
Na rozdíl od '''ZF''' neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) '''NBG''' nekonečný počet axiomů — nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu schématu axiomů nahrazení nebo schématu axiomů vydělení.<ref name=MathWorldNBG /><!-- A radši ještě jeden -->
Řádek 227:
* '''axiom existence množiny''': <math>\scriptstyle (\exist X,Y)(X\in Y)</math>
* '''axiom extenzionality pro třídy''': <math>\scriptstyle (\forall X,Y)(X=Y \Leftrightarrow (\forall e)(e \in X \Leftrightarrow e\in Y)</math>
* '''schéma existence tříd''': <math>\scriptstyle (\exists Z)(\forall e)(e\in Z \Leftrightarrow \Phi)</math> kde <math>\scriptstyle \Phi</math> je formule v
* '''axiom dvojice''': <math>\scriptstyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall e)(e \in z \Leftrightarrow (e=x \vee e=y))</math>
* '''axiom nahrazení''': <math>\scriptstyle (\forall F)((\forall y,e_1,e_2)((<y,e_1> \in F \and <y,e_2>\in F) \Rightarrow e_1=e_2) \Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z \Leftrightarrow (\exists y)(y \in x \and <y,e>\in F)))</math>
Řádek 233:
=== Kelleyova-Morseova teorie množin ===
{{Hlavní článek|Kelleyova-Morseova teorie množin}}
'''Kelleyova-Morseova teorie množin''' (označovaná též '''KM''') je pokusem o
Axiomatizace '''KM''' je velmi podobná axiomatizaci '''GB''', liší se pouze ve schématu existence tříd, kde (na rozdíl od '''GB''') připouští existenci třídy odpovídající libovolné formuli. Tato zdánlivě drobná odlišnost je však příčinou toho, že '''KM''' je nesrovnatelně silnější teorií než '''GB''' i
Je založena na těchto axiomech (malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové) proměnné):<ref>[http://books.google.com/books?id=eNewtIJZ-7UC&printsec=frontcover&hl=cs&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false R.B. Chuaqui, Axiomatic set theory]</ref>
Řádek 246:
=== New Foundations ===
New Foundations (NF) je axiomatizace, kterou vyvinul [[Willard van Orman Quine]]. Jedná se o
{{Upravit - část}}
Je založena na těchto axiomech<ref name="NF Def">[http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html#Definition New Foundations home page - Definition]</ref>:
* '''axiom extenzionality''': Dva objekty jsou stejné, pokud se skládají ze stejných prvků.
* '''schéma axiomů vydělení''': Množina <math>\{x | P \}</math> existuje, když <math>P</math> je formule logiky prvního řádu, která může být odvozena z
Schéma axiomů vydělení, může být nahrazeno konečně mnoha svými případy. Použití konečné axiomatizace odstraňuje nutnost v
Často se používá ve schématu vydělení koncept vrstvené formule (anglicky: stratified formula). (Řekneme, formule <math>\phi</math> je vrstvená, jestliže existuje [[funkce (matematika)|funkce)]] f taková, že všem objektům univerza vrátí přirozené číslo a pro <math>x \in y</math> platí <math>f(y) = f(x) + 1</math> a pro <math>x=y</math> platí <math>f(y) = f(x)</math>. Schéma axiomů vydělení pak zní:
:<math>\{x \mid \phi \}</math> existuje pro každou vrstveno formuli <math>\phi</math>.<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/ Forster, Thomas, "Quine's
=== Teorie polomnožin ===
{{Hlavní článek|Teorie polomnožin}}
'''Teorie polomnožin''' byla vyvinuta v
== Odkazy ==
| |||