Axiomatická teorie množin: Porovnání verzí

Jelikož cílem ZF je popsat jedinou soustavou axiomů celou matematiku, není možné postupovat tak, že zavedem pojem např. "přirozené číslo" a vložíme axiomy o  tom, jaké vlastnosti přirozená čísla mají. V  takovém případě bychom museli rozšířit množinu axiomů pokaždé, když je v  matematice objeven další důležitý pojem ([[reálné číslo]], [[funkcionál]], [[Teorie kategorií|kategorie]]...)

Proto ZF vychází z  předpokladu, že všechny matematické objekty jsou množiny, a její axiomy poskytují možnost z  množin konstruovat množiny složitější. Prvek množin tedy mohou být opět jen množiny.

Matematické objekty, se kterými chceme pracovat, pak ztotožníme s  vhodnými množinami - víme, jaké vlastnosti očekáváme od přirozených čísel (například že ke každému číslu existuje číslo o  jedničku větší), a proto zvolíme množiny, které odpovídající vlastnost mají.

* Číslo 0 ztotožníme z &nbsp;prázdnou množinou <math>\emptyset</math>

* Číslo 1 ztotožníme s &nbsp;množinou <math> 0 \cup \{ 0 \} = \{ \emptyset \}</math>

* Číslo 2 ztotožníme s &nbsp;množinou <math> 1 \cup \{ 1 \} = \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \}</math>

* Číslo 3 ztotožníme s &nbsp;množinou <math> 2 \cup \{ 2 \} = \{ \emptyset , \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} \}</math>

Formálně: Množinu přirozených čísel definujeme jako průnik všech množin, které obsahují prázdnou množinu a s &nbsp;každým svým prvkem <math> x </math> obsahují i &nbsp;množinu <math> x \cup \{ x \}</math>.

Je však možné reprezentovat přirozená čísla (pro <math> n >= 0 </math>) jako <math>(0, n)</math> a záporná čísla <math>-n </math> (pro <math> n > 0 </math>) jako <math>(1, n)</math>. Tato definice se nepoužívá, protože by definice sčítání, násobení apod. byla složitější, než u &nbsp;definice následující:

Podobně se postupuje i &nbsp;u &nbsp;dalších matematických operací.

Za pozornost stojí i &nbsp;skutečnost, že totéž číslo (například 2) je reprezentováno jinak jako přirozené číslo než jako celé číslo. Množina přirozených čísel tedy formálně není podmnožinou množiny celých čísel. S &nbsp;podobným jevem se v &nbsp;teorii množin setkáváme velmi často; tento přístup je volen proto, abychom nemuseli změnit reprezentaci množiny, pokud konstruujeme její rozšíření - například kdyby [[komplexní čísla]] a [[kvaterniony]] (což jsou oboje rozšíření [[Reálná čísla|reálných čísel]]) byly vynalezeny až poté, co byla ustálena konvence, jak reálná čísla v &nbsp;teorii množin reprezentovat.

V &nbsp;této definici <math> Z </math> značí množinu celých čísel definovanou výše a zápis <math> b<>0 </math> se týká nuly jako celého čísla, což je formálně jiný objekt, než nula jako přirozené číslo.

Definice sčítání, násobení apod. odvodíme podobným způsobem, jako u &nbsp;celých čísel.

Reálná čísla je možno definovat několika způsoby, například ztotožnit jejich množinu s &nbsp;množinou všech [[Dedekindův řez|Dedekindových řezů]].