|
'''Spojité zobrazení''' je pojem z [[topologie]] a [[matematická analýza|matematické analýzy]].
{{Upravit - matematika}}
'''SpojitéJe zobrazení'''to je druhtakové [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], mezikteré [[topologickýzobrazuje prostor|topologickýmidostatečně prostoryblízké [[bod]],y kteréblízko nevytvářísebe. trhlinyTato anivlastnost ostrézobrazení skokyse nazývá '''spojitost'''. JeSpojité zobrazení je zobecněním pojmu [[spojitá funkce]] na [[Množina|množinách]] [[Číslo|čísel]].
== Neformální úvod ==
PojemSpojitost spojitostije bylpřirozená původněa očekávatelná vlastnost zobrazení. Pro reálne [[funkce]] [[Spojitá funkce|zavedenspojitost aznamená]], zkoumánže na[[graf reálnýchfunkce]] číslechneobsahuje ostré skoky a vypadá jako [[souvislost|souvislá]]{{Doplňte zdroj}}[[křivka]]. Lze jejPojem všaklze zobecnitdefinovat na [[Metrický prostor|metrickémetrických prostoryprostorech]], tedy na jakékoli množinymnožinách, jejímžna prvkůmkterých je možnomožné přiřadit jakousiměřit "vzdálenostvzdálenosti" ([[Metrika|metriku]]). Jedná se tedy například o množiny [[bod]]ů v [[Rovina|rovině]], neboanebo [[Spojitátaké funkce|spojiténějakou funkce]]množinu nafukcí. [[UzavřenýV interval|uzavřenémmetrických intervalu]]prostorech spojitost znamená, že pokud se nějký bod blíží jinému bodu, blíží se k sobě i obrazy.
Metrickou [[definice|definici]] lze ještě dále zobecnit na [[topologický prostor|topologické prostory]], tj. na ještě širší skupinu množin, než jsou metrické prostory. V topologii je spojitost definována tak, že množiny zachovávají některé své topologické vlastnosti. Spojité zobrazení například převádí [[souvislá množina|souvislé množiny]] na souvislé, [[kompaktnost|kompaktní]] na kompaktní a vzor [[otevřená množina|otevřené množiny]] je otevřená množina. Tyto různé definice spojitosti jsou vzájemně kompatibilní.
== Formální definice ==
Jelikož reálná čísla tvoří metrický prostor a každý metrický prostor je topologickým prostorem, mají na metrických prostorech smysl dvě [[definice]] spojitosti (metrická a topologická) a na reálných číslech všechny tři. Tyto definice jsou však [[Ekvivalence (logika)|ekvivalentní]]; zobrazení je spojité podle jedné z nich, právě když je spojité podle libovolné jiné.
=== Definice vV topologických prostorech === ▼
▲== Definice v topologických prostorech ==
Zobrazení <math>f</math> mezi topologickými prostory <math>X</math> a <math>Y</math> nazveme '''spojité''', pokud [[vzor množiny|vzor]] každé otevřené množiny v <math>Y</math> je [[otevřená množina]] v <math>X</math>.
Ekvivalentní definice říká, že zobrazení <math>f</math> je '''spojité v bodě''' <math>x \in X</math>, jestliže pro každé [[Okolí (matematika)|okolí]] <math>V</math> bodu <math>f(x)</math> existuje okolí <math>U</math> bodu <math>x</math> takové, že <math>f(U) \subseteq V</math>. Zobrazení <math>f</math> je '''spojité''', pokud je <math>f</math> spojité v každém <math>x \in X</math>.
=== Definice vV metrických prostorech ===
Ekvivalentně, zobrazeníZobrazení <math>f</math> z [[metrický prostor|metrického prostoru]] prostoru <math>(X, \rho)\,\!</math> do <math>(Y, \sigma)\,\!</math> je spojité, právě když pro každé <math>x_0\in X\,\!</math> a kladné reálné číslo <math>\epsilon\,\!</math> existuje kladné reálné <math>\delta\,\!</math> takové, že pro každý bod <math>x\in X\,\!</math> splňující <math>\rho(x,x_0)<\delta\,\!</math> platí <math>\sigma( f(x_0), f(x)) <\epsilon \,\!</math>. Jinými slovy, vzdálenost obrazů dvou bodů může být libovolně blízká, pokud zvolíme vzdálenost vzorů dostatečně blízko. ▼V metrických prostorech je pojem [[otevřená množina]] definován jinak, než v topologických prostorech, ale definice spojitosti zůstává stejná: Zobrazení <math>f</math> z <math>X</math> do <math>Y</math> nazveme '''spojité''', pokud [[vzor množiny|vzor]] každé otevřené množiny v <math>Y</math> je [[otevřená množina]] v <math>X</math>.
EvivalentněEkvivalentně, zobrazení <math>f</math> z <math>:\,X</math>\to do <math>Y</math> je spojité, právěv když [[vzor množiny|vzor]] každé uzavřené množiny vbodě <math>Yx\in X\,\!</math>, jejestliže platí [[uzavřená množinaimplikace]] v <math>X</math>. Jedná se zřejmě o přechod k doplňkům.
:<math>x_n \to x \Rightarrow f(x_n)\to f(x)\,</math>.
=== Spojitá zobrazení na množinách čísel === ▼
Ekvivalentně zobrazení <math>f</math> z <math>X</math> do <math>Y</math> je spojité, právě když <math>f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}</math> pro každou <math>A \subset X</math>.
{{Podrobně|spojitá funkce}} ▼Zobrazením mezi množinami čísel se častěji říká [[Funkce (matematika)|funkce]]. Funkce ''f'' je spojitá v bodě ''x'', pokud pro každé <math>\epsilon>0</math> existuje <math>\delta>0\,\!</math> takové, že <math>|x-y|<\delta\,\!</math> [[implikace|implikuje]] <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon\,\!</math>.
Množina [[Reálné číslo|reálných]] a [[Komplexní číslo|komplexních]] čísel je však také [[topologický prostor]], generován otevřenými [[Interval (matematika)|intervaly]]. Podobně [[Metrický prostor]] a [[normovaný lineární prostor]] jsou topologické prostory a různé definice spojitosti zobrazení mezi těmito prostory jsou ekvivalentní.
▲Ekvivalentně, zobrazení <math>f</math> z prostoru <math>(X, \rho)\,\!</math> do <math>(Y, \sigma)\,\!</math> je spojité, právě když pro každé <math>x_0\in X\,\!</math> a kladné reálné číslo <math>\epsilon\,\!</math> existuje kladné reálné <math>\delta\,\!</math> takové, že pro každý bod <math>x\in X\,\!</math> splňující <math>\rho(x,x_0)<\delta\,\!</math> platí <math>\sigma( f(x_0), f(x)) <\epsilon \,\!</math>. Jinými slovy, vzdálenost obrazů dvou bodů může být libovolně blízká, pokud zvolíme vzdálenost vzorů dostatečně blízko.
Speciálně na [[normovaný vektorový prostor|normovaných prostorech]] se dá použít ještě ekvivalentní definice spojitosti v bodě: Zobrazení <math>f:\,X\to Y</math> je spojité v bodě <math>x\in X\,\!</math>, jestliže platí [[implikace]] <math>x_n \to x \Rightarrow f(x_n)\to f(x)\,</math>.
▲== Spojitá zobrazení na množinách čísel ==
▲{{Podrobně|spojitá funkce}}
Zobrazením mezi množinami čísel se častěji říká [[Funkce (matematika)|funkce]]. Topologie na množině [[Reálné číslo|reálných]] a [[Komplexní číslo|komplexních]] čísel je generována otevřenými [[Interval (matematika)|intervaly]]. Proto i definice spojitosti je pro tyto zobrazení ekvivalentní běžné definici [[Spojitá funkce|spojité funkce]] pomocí <math>\epsilon</math> a <math>\delta</math>. Obecněji na [[Metrický prostor|metrických]] a [[normovaný lineární prostor|normovaných lineárních]] prostorech je topologická definice spojitosti ekvivalentní definicím spojitých funkcí pomocí metriky nebo normy.
== Vlastnosti spojitých zobrazení ==
== Příklady spojitých a nespojitých zobrazení ==
* [[projekce (matematika)|Projekce]] topologického [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] na nějaký podprostor je spojité zobrazení.
* Každé zobrazení z [[Diskrétní prostor|diskrétního prostoru]] do libovolného metrického prostoru je '''spojité'''<ref group=pozn>Stačí si uvědomit, že pro diskrétní prostor platí <math>\scriptstyle \forall x,\,y \in X, x \neq y:\rho(x,y)=1.</math></ref>. ▼* [[Lineární zobrazení|Lineární transformace]] konečně rozměrného vektorového prostoru je spojitá.
* [[Polynom|Polynomiální funkce]] je spojité zobrazení. Podobně zobrazení z <math>\R^n</math> do <math>\R^m</math>, kterého každá složka je polynomiální funkce.
* Každé zobrazení z libovolného metrického prostoru do [[pseudometrický prostor|pseudometrického prostoru]] (X; d), kde d = 0, je '''spojité'''.
* [[Křivka]] je spojité zobrazení z úsečky do nějakého topologického prostoru.
* [[Skalární součin]] je spojité zobrazení z dvojich vektorů do čísel.
* Zobrazení na reálném vektorovém prostoru definované jako [[Násobení matic|přenásobení]] danou [[matice|maticí]], '''je spojité'''. Formálně: Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( \R^n, \left \| \cdot \right \| \right ) </math> , kde <math>\scriptstyle \left \| x \right \| = \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right)</math>. Mějme dále danou matici <math>\scriptstyle A \in \R^{n \times n}</math> a definujme zobrazení <math>\scriptstyle A:\,X \to X,\ A(x)=Ax</math>. Pak toto zobrazení '''je spojité'''<ref group=pozn>Uvedené normě vektoru odpovídá tato norma matice <math>\scriptstyle \left \| A \right \| _\infty = \max \limits _{1 \leq i \leq m} \sum _{j=1} ^n | a_{ij} |, </math> a platí, že <math>\scriptstyle \left \| Ax \right \| \leq \left \| A \right \|\,\left \| x \right \|</math>. Tedy zobrzení je omezené a lineární a tudíž i spojité</ref>.
* Funkce <math>f: \R\to \{0,1\}</math>, která [[racionální číslo|racionálním číslům]] přiradí nulu a [[iracionální číslo|iracionálním]] jednotku, je nespojitá.
* [[Evoluční operátor]] v [[kvantová fyzika|kvantové fyzice]] (popisuje vývoj fyzikálního systému v čase) je spojité zobrazení.
* Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>, kde <math>\scriptstyle \left \| x \right\| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}|x(t)|</math> prostor spojitých reálných funkcí na intervalu <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math>. Dále mějme <math>\scriptstyle K:\,\left \langle 0,\, 1 \right \rangle \times \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \to \R</math> spojitou funkci. Definujme <math>\scriptstyle A:\,X \to Y,\ (Ax)(t)=\int_0^1 K(t,\,s ) x(s) ds</math>. Pak <math>\scriptstyle A\,</math> '''je spojité''' zobrazení v <math>\scriptstyle\ C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right )</math><ref group=pozn>Platí: <math>\scriptstyle \forall x \in X: \left \| Ax \right \| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}{\left | \int_0^1{K \left ( t,\, s\right ) x \left (s \right )ds}\right |} \leq \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}{\int_0^1{\left | K \left ( t,\, s\right )\right | \, \left | x \left (s \right )\right | ds}} \leq \left \| x \right \| \sup_{\left (t, \, s \right ) \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \times\left \langle 0,\, 1 \right \rangle}{\left | K \left (t,\,s \right ) \right |} = \left \| x \right \| \max_{\left (t, \, s \right ) \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \times\left \langle 0,\, 1 \right \rangle}{\left | K \left (t,\,s \right ) \right |}</math> a druhá část je konstanta nezávislá na x. Tedy zobrazení je omezené a lineární a tudíž i spojité.</ref>.
▲* Každé zobrazení z [[Diskrétní prostor|diskrétního prostoru]] do libovolného metrického prostoru je '''spojité ''' <ref group=pozn>Stačí si uvědomit, že pro diskrétní prostor platí <math>\scriptstyle \forall x,\,y \in X, x \neq y:\rho(x,y)=1.</math></ref>.
* Mějme X prostor spojitých reálných funkcí na intervalu <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math> spolu se supremovou normou (''||f||:=sup |f(x)|'') a nechť ''K(x,t)'' je spojitá funkce. Definujme <math>\scriptstyle A:\,X \to X,\ (Ax)(t)=\int_0^1 K(t,\,s ) x(s) ds</math>. Pak <math>\scriptstyle A\,</math> je spojité zobrazení v <math>\scriptstyle\ C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right )</math>.
* Příkladem spojitého zobrazení na topologickém prostoru, který není metrizovatelný, je [[Funkce Alef|funkce <math>\aleph</math>]], která ordinálnímu číslu <math>\alpha</math> přiřadí <math>\alpha</math>-tou nejmenší nekonečnou [[mohutnost]]. Jedná se o zobrazení na [[Vlastní třída|vlastní třídě]], ovšem pro každé [[Vlastní třída|ordinální číslo]] <math>\beta</math> (které je zároveň množinou ordinálních čísel) je [[Restrikce zobrazení|restrikce]] této funkce na <math>\beta</math> spojitým <ref group="pozn">Pokud konverguje <math>\{\alpha_n\}\subseteq\beta\,\!</math> k nějakému <math>\alpha\in\beta\,\!</math>, pak posloupnost <math>\{\aleph_{\alpha_n}\}</math> konverguje k <math>\aleph_\alpha\ \,\!</math>. Příkladem je posloupnost <math>\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\ldots ,\!</math> konvergující k <math>\aleph_\omega,\!</math>, zvolíme-li <math>\beta=\omega+1</math> a <math>\alpha_n = n \,\!</math> pro každé přirozené číslo ''n''.</ref> zobrazením z <math>\beta</math> do [[Obraz množiny|obrazu]] <math>\aleph[\beta]</math>.
* Lineární zobrazení nekonečně rozměrného vektorového prostoru může, ale také nemusí být spojité. Nechť <math>X=C^\infty(\langle 0,1 \rangle)</math> je prostor hladkých funkcí spolu s maximovou normou ''||f||=sup |f(x)|''. Pak derivace <math>D:X\to X</math> je lineární nespojité zobrazení. <ref group="pozn">Vezměme <math>\scriptstyle f_n(t)=t^n/n, n \in \N</math>, pak <math>\scriptstyle ||f_n||=1/n\to 0</math>, ale velikosti obrazů jsou <math>||(f_n)'||=||t^{n-1}||=1</math></ref>.
* Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C^1 \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math> a <math>\scriptstyle Y =\left ( C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>, kde <math>\scriptstyle \left \| x \right\| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}|x(t)|</math> prostor [[Diferencovatelnost|diferencovatelných]] reálných funkcí na intervalu <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math>. Pak <math>\scriptstyle D:\,X \to Y,\ (Dx)(t)=x'(t)</math> je zobrazení, které každé funkci přiřadí její derivaci. Toto zobrazení '''není spojité'''<ref group="pozn">Vezměme <math>\scriptstyle x(t)=t^n, n \in /N</math>, pak <math>\scriptstyle (Ax)(t)=nt^n, \left \| Ax \right \| = n</math>. Tedy A není [[Omezený operátor|omezené]] na <math>\scriptstyle \left \{ x \in X: \, \left \| x \right \| \right \}\le 1</math>, a tedy není ani spojitá.</ref>.
== Odkazy ==
|
