Teorie kategorií: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Řádek 24:
* Kategorie '''Set''' všech množin: objektem je jakákoli množina, morfismem z množiny ''a'' do množiny ''b'' je jakékoli zobrazení, jehož definiční obor je celá množina ''a'' a obor hodnot je podmnožinou ''b''.
Teorie kategorií studuje vlastnosti, které lze o matematických strukturách říci, aniž bychom mluvili o jejich prvcích; smíme mluvit jen o objektech, morfismech a skládání morfismů: Pokud f je morfismus z objektu ''a'' do ''b'' a ''g'' je morfismus z ''b'' do ''c'', pak existuje [[Skládání zobrazení|složený morfismus]] ''g'' o ''f'' z ''a'' do ''c''. Toto skládání je [[Asociativita|asociativní]] a pro každý objekt ''
Příklad: V kategorii [[Abelova grupa|komutativních grup]] uvažujme grupy Z, Q, R celých, racionálních a reálních čísel. Mějme tato zobrazení
Řádek 47:
Stejným způsobem lze o každém zobrazení, které není prosté, ukázat, že v kategorii množin není monomorfismem. Na druhou stranu, pokud zobrazení není monomorfismem, pak pro nějakou množinu ''c'', zobrazení ''f'', ''g'' a prvek x <math>\in</math> ''c'' platí, že ''g(x) <math>\neq</math> h(x)'', ale ''f(g(x)) = f(h(x))''. Prvky ''g(x)'' a ''h(x)'' pak dosvědčují, že ''f'' není prosté.
'''Podobným způsobem teorie kategorií definuje pomocí objektů a morfismů (bez odkazů na prvky těchto objektů) mnoho pojmů, jejichž obvyklá definice s prvky pracuje.''' To umožňuje studovat společné vlastnosti zdánlivě nesouvisejících a navzájem velmi odlišných struktur, které mají sice zcela jiné prvky, ale jejich morfismy vykazují nějakou podobnost.
== Další příklady kategorií ==
| |||