Wikipedie

Otevřená množina: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
ChuispastonBot (diskuse | příspěvky)
27 199 editací
m r2.7.1) (robot přidal: id:Himpunan terbuka
prepracovani
Řádek 1:
'''Otevřená množina''' je [[matematika|matematická]] vlastnost [[množina|množin]], která je zobecněním [[otevřený interval|otevřeného intervalu]] [[reálné číslo|reálnych čísel]]. [[Množina]] M [[topologický prostor|topologického prostoru]] jeanebo [[metrický prostor|metrického prostoru]] se nazývá '''otevřená''', pokud s každým bodem X''x'', který do ní patří, patří do této množiny i nějaké jeho okolí. O(x)Znamená to, že obsahuje s každým bodem i body, které jsou dostatečně blízko.
Otevřená množina není opak [[Uzavřená množina|uzavřené]]. Existují totiž množiny, které jsou zároveň uzavřené i otevřené, nebo množiny, které nejsou ani uzavřené, ani otevřené.▼
 
== Definice ==
Bod X se nazývá ''vnitřním bodem'' množiny M, jestliže X∈M a existuje nějaké okolí O(X) bodu X ležící celé v množině M, tj. O(X)⊆M. Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá ''vnitřek množiny'' M a označuje M<sup>o</sup>. Je-li množina M totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny M vnitřní, pak je M ''množina otevřená''<ref>[http://user.mendelu.cz/marik/in-mat-web/in-mat-webse2.html Inženýrská matematika 1.2 Základní topologické pojmy]</ref>.▼
 
=== TopologickéV prostory[[topologie|topologii]] ===
 
Při definici topologických prostorů je otevřená množina základní pojem. ZačneTopologický seprostor sje libovolnoupřímo množinou <math>X</math> adefinován souborem jejíchotevřených podmnožin <math>\tau</math>, které splňují všechnyjisté vlastnosti, které by otevřené množiny měly mít ([[Sjednocení]] libovolného počtu a [[průnik]] konečného počtu otevřených množin je otevřená množina, navíc [[prázdná množina]] a X jsou otevřené). Takový soubor podmnožin <math>\tau</math> se nazývá topologie na <math>X</math> a společně definují topologický prostor <math>(X,\tau)</math>. Otevřené množiny jsou pak právě prvky topologie <math>\tau</math>.
 
=== V [[metrický prostor|metrických prostorech]] ===
=== Metrické prostory ===
 
Podmnožina <math>A</math> metrického prostoru <math>X</math> je otevřená, pokud pro každý její bod <math>x</math> existuje [[Koule (topologie)|koule]] se středem v <math>x</math>, která celá leží v <math>A</math>. Tedy pro každý bod <math>x \in A</math> existuje <math>\epsilon > 0</math> taktakové, že každé <math>y \in X \quad d(x, y) < \epsilon</math> leží v <math>A</math>.▼
Každý [[metrický prostor]] <math>X</math> s metrikou <math>d</math> je topologický prostor s topologií generovanou metrikou. (Topologii generuje množina všech otevřených koulí <math>U(x,r) = \{y \in X; d(x,y) <r\}</math>.) V této topologii můžeme otevřenou množinu definovat intuitivnějším způsobem.
 
Tato definice je v metrických prostorech ekvivalentní topologické definici otevřenosti.
 
▲Bod X se nazývá ''vnitřním bodem'' množiny M, jestliže X∈M a existuje nějaké okolí O(X) bodu X ležící celé v množině M, tj. O(X)⊆M. Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá ''vnitřek množiny'' M a označuje M<sup>o</sup>. Je-li množina M totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny M vnitřní, pak je M ''množina otevřená''<ref>[http://user.mendelu.cz/marik/in-mat-web/in-mat-webse2.html Inženýrská matematika 1.2 Základní topologické pojmy]</ref>.
 
▲Podmnožina <math>A</math> metrického prostoru <math>X</math> je otevřená, pokud pro každý její bod <math>x</math> existuje [[Koule (topologie)|koule]] se středem v <math>x</math>, která celá leží v <math>A</math>. Tedy pro každý bod <math>x \in A</math> existuje <math>\epsilon > 0</math> tak, že každé <math>y \in X \quad d(x, y) < \epsilon</math> leží v <math>A</math>.
 
== Vlastnosti otevřených množin ==
Řádek 22 ⟶ 23:
 
[[Prázdná množina]] a celý topologický prostor X jsou otevřené.
 
▲Otevřená množina není opak [[Uzavřená množina|uzavřené]]. Existují totiž množiny, které jsou zároveň uzavřené i otevřené, nebo množiny, které nejsou ani uzavřené, ani otevřené.
 
== Použití otevřených množin ==
 
Otevřené množiny se používají k definici obecnějších pojmů, k definicím [[Limita|limit posloupností]], [[Spojité zobrazení|spojitosti]], [[Kompaktní množina|kompaktnosti]], [[souvislá množina|souvislosti]] apod. [[Spojité zobrazení]] je například definováno vlastností, že vzory otevřených množin jsou otevřené.
 
Pro každou množinu topologického prostoru existuje její největší otevřená podmnožina, která se nazývá [[Vnitřek množiny|vnitřek]].
 
[[Spojité zobrazení]] je takové, pokud vzory otevřených množin jsou otevřené.
 
== Související články ==
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Otevřená_množina“