Sféra (matematika): Porovnání verzí

V [[matematika|matematice]] se slovem '''sféra''' označuje obvykle povrch [[koule]], resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze ''n'' se někdy značí n-sféra.

* V [[Euklidovská geometrie|Euklidovské geometrii]] a v klasické [[matematická analýza|analýze]] je n-rozměrná sféra poloměru ''r'' definována <math>S^n:=\{ x\in\R^{n+1}, \sum_i x_i^2=r^2\}</math>

* V [[topologie|topologii]] je n-rozměrná sféra [[topolologickýtopologický prostor]] [[homeomorfie|homeomorfní]] výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně, sféra je jednobodová kompaktifikace prostoru <math>\R^n</math>. Pro <math>n=\infty</math> se také definuje sféra <math>S^\infty</math>, která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

* n-sféra je [[Kompaktní množina|kompaktní]], [[Souvislá množina|souvislá]] a pro nadimenzi ''n'' > 0 ataké [[jednoduše souvislá množina]].

* Velikost povrchu dvourozněrné sféry je <math>4\pi r^2</math>, obecněji, objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry polmoěru ''r'' je <math>{2\pi^\frac{n+1}{2}r^{n}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} </math>

* [[Eulerova charakteristika]] n-sféry je 2 pro ''n'' sudé a 0 pro ''n'' liché.

* [[Homologie (matematika)|Homologie]] a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a ''n''.

* Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká [[varieta]] je homeomorfní 3-sféře (slavná [[Poincareho hypotéza]], jediný ze 7[[sedm miléniových problémuproblémů|sedmi miléniových problémů]], který byl zatím vyřešen).

* Jediné sféry, které mají strukturu [[Lieova grupa|Lieovy grupy]] jsou n-sféry pro ''n'' = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových [[reálne číslo|reálnych čísel]], [[komplexní číslo|komplexních čísel]] a [[kvaternion]]ů).

* Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové [[vektorové pole]] právě když ''n'' je liché.

* Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně známýznám.

* Není známo, zda 6-sféra připouštépřipouští strukturu komplexní variety.