Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí

→‎Vlastnosti: {{Upravit - část}} (ne zcela jasně napsané, ne moc jasně rozdělené na části), pokus o malinkou úpravu
m (+matika)
(→‎Vlastnosti: {{Upravit - část}} (ne zcela jasně napsané, ne moc jasně rozdělené na části), pokus o malinkou úpravu)
 
== Vlastnosti ==
{{Upravit - část}}
Je-li <math>W</math> [[podprostor]]em konečněrozměrného prostoru <math>V</math>, pak platí <math>\dim W \leq \dim V</math>, přičemž [[rovnost (matematika)|rovnost]] nastává pouze tehdy, pokud <math>W = V</math>. Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou [[izomorfismus|izomorfní]].
 
 
Pokud je <math>F</math> [[rozšíření tělesa]] <math>K</math>, je <math>F</math> vektorový prostor nad tělesem <math>K</math> a libovolný vektorový prostor <math>V</math> nad tělesem <math>F</math> je také vektorový prostor nad tělesem <math>K</math>, přičemž platí
:<math>\dim_K(V) = \dim_K(F) \cdot \dim_F(V)</math>
Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze <math>n</math> je současně reálným vektorovým prostorem dimenze <math>2n</math>.
 
 
Pokud <math>V</math> je vektorový prostor nad tělesem <math>F</math>, platí:
* Pokud je <math>\dim V</math> konečné, pak <math>|V| = |F| \dim V</math>,
* pokud je <math>\dim V</math> nekonečné, pak <math>|V| = \max\left( |F|, \dim V \right)</math>.
 
 
Jsou-li <math>U</math> a <math>V</math> vektorové prostory, platí