Wikipedie

Operátor hustoty: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m Stránka Smíšený stav přemístěna na stránku Operátor hustoty: přesun dle standardu
vložena poslední editace už. Irigi
Řádek 1:
{{upravit - fyzika}}
 
'''Operátor hustoty''' (též ''matice hustoty'' nebo ''statistický operátor'') je [[operátor]] používaný pro popis kvantového [[stav (fyzika)|stavu]] systému. Na rozdíl od [[vlnová funkce|vlnové funkce]] je obecnější, protože kromě čistých kvantových stavů popisuje i měřitelné vlastnosti [[statistický soubor|statistických souborů]] kvantových stavů, tedy případ, kdy pracujeme se směsí různých kvantových stavů, které jsou zastoupeny s jistými pravděpodobnostmi. Takové statistické soubory se nazývají ''smíšenými stavy''.
'''Smíšený stav''' je statistický soubor čistých kvantových stavů. Umožňuje dobře popsat situaci, kdy je systém s určitou pravděpodobností popsán určitým stavovým vektorem.
 
Operátor hustoty se široce používá v teorii [[dekoherence]] a obecně v teorii [[otevřený kvantový systém|otevřených kvantových systémů]], kdy se systém nevyvíjí koherentně, tj. podle [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovy rovnice]], ale je průběžně měřen svým okolím. V takovém případě nelze formalismus vlnové funkce využít, protože systém je procesem měření z čistého kvantového stavu pomalu přeměňován na stav smíšený.
Nechť se s pravděpodobností <math>p_i</math> nalézá systém v čistém stavu <math>\psi_i</math>, pak celý systém je popsán statistickým operátorem <math>W</math>, někdy také <math>\rho</math>, pro který platí▼
 
==Matematické zavedení==
<math>W = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |</math>,▼
▲NechťMějme statistickou směs kvantových stavů (smíšený stav), kde se s pravděpodobností <math>p_i</math> nalézá systém v čistém stavu <math>|\psi_i\rangle</math>, pak celýoperátor systém je popsán statistickým operátoremhustoty <math>W</math>, (někdy také <math>\rho</math>), pro kterýdefinujeme platíjako
 
▲:<math>W = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |</math>,
 
kde
 
:<math>\sum_i p_i = 1\;.</math>.
 
Statistický operátor <math>W</math> tedy popisuje smíšený stav. Jestliže je stavový vektor <math>|\psi\rangle</math> reprezentován sloupcovou maticí, pak je <math>W</math> maticí čtvercovou, jejiž dimenze odpovída dimenzi Hilbertova prostoru systému.
 
Dá se dokázat, že normalizační podmínka pro součet pravděpodobností je ekvivalentní podmínce pro stopu matice
 
:<math>\operatorname{Tr}\, W = 1</math>.
 
Pokud jsou všechny pravděpodobnosti <math>p_i</math> kromě jedné rovny nule, potom operátor hustoty popisuje čistý kvantový stav. Podobně jako se vlnový vektor může nacházet v superpozici stavů, může i operátor hustoty čistého stavu být v dané bázi nediagonální. Jedině pro čisté stavy však bude platit podmínka
Z definice statistického operátoru je zřejmé, že i čistý stav je možno popisovat pomocí <math>W</math>, čistý stav pak poznáme tak, že pro něj platí:
 
:<math>\operatorname{Tr}\, W^2=1\;,</math>
 
což snadno nahlédneme převedením operátoru hustoty do báze, ve které je diagonální. (Čistý stav musí mít všechny [[vlastní hodnota|vlastní hodnoty]] kromě právě jedné rovny nule.)
 
==Měření systému ve smíšeném stavu==
Máme-li určitou [[pozorovatelná|pozorovatelnou]] popsanou operátorem <math>\hat{A}</math>, pak je [[střední hodnota,]] kterouzískaná předpovídápři kvantovájejím mechanikaměření ve stavu popsaném <math>W</math> dána jako
 
<math>\langle \hat{A} \rangle = \operatorname{Tr} W \hat{A}</math>.
 
Pravděpodobnost naměření hodnoty <math>|a_j\rangle</math> je pak dána jako:▼
 
<math>w_{a_j}=\sum_i p_i \langle \psi_i | \hat{P}_{a_j} | \psi_i \rangle = \operatorname{Tr} W\hat{P}_{a_j}=\operatorname{Tr} \hat{P}_{a_j}W\hat{P}_{a_j}</math>
 
Kde operátor <math>\hat{P}_{a_j}</math> je projekční operátor do podprostoru odpovídajícího vlastní hodnotě <math>a_j</math>, tedy <math>\hat{P}_{a_j}=|a_j\rangle \langle a_j|</math>, pokud je vlastní hodnota nedegenerovaná.
 
Zmiňme ještě, že systém je po projdení filtrem <math>\hat{P}_{a_j}</math> ve stavu, kterému odpovídá obecně nenormovaný statistický operátor
 
<math>W'=\hat{P}_{a_j}W\hat{P}_{a_j}</math>
 
Máme-li nedokonalý filtr popsaný filtrem <math>\hat{P}</math>, pak je stav systému po průchodu dán formálně stejným vztahem:
 
:<math>W'=\langle \hat{PA} \rangle = \operatorname{Tr}\, W \hat{PA}</math>.
 
▲Pravděpodobnost naměření hodnoty <math>|a_j\rangle</math> je pak dána jako:
Máme-li několik nedokonalých filtrů <math>\hat{P}_i</math> a přitom jsme schopni v principu rozeznat, kterým tímto filtrem částice prošla, pak je výsledný statistický operátor <math>W'</math> dán takto:
 
:<math>W'w_{a_j}=\sum_i p_i \langle \psi_i | \hat{P}_iW_{a_j} | \psi_i \rangle = \operatorname{Tr} W\hat{P}_i_{a_j}=\operatorname{Tr} \hat{P}_{a_j}W\hat{P}_{a_j}</math>
 
Kde operátor <math>\hat{P}_i = \sum_{j_i} \hat{P}_{a_{j_i}a_j}</math> je projekční operátor projektující do podprostoru[[podprostor]]u odpovídajícímu množiněodpovídajícího vlastní hodnothodnotě <math>a_j</math>, tedy <math>\hat{a_P}_{j_ia_j}=|a_j\}rangle \langle a_j|</math>, pokud je vlastní hodnota nedegenerovaná. V maticové reprezentaci jsou pravděpodobnosti dány čtverci diagonálních elementů matice hustoty.
 
==Časový vývoj smíšeného stavu==
Je-li vývoj čistého stavu popsán evolučním operátorem <math>\hat{U}(t,t_0)</math>, tedy platí
 
:<math>|\psi(t)\rangle =\hat{U}(t,t_0) |\psi(t_0)\rangle</math>
 
Pak je vývoj stavu <math>W = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |</math> popsaný výrazem:
 
:<math>W(t)= \sum_i p_i \hat{U}(t,t_0)|\psi_i (t_0)\rangle \langle \psi_i (t_0)| \hat{U}^+(t,t_0)= \hat{U}(t,t_0) W(t_0)\hat{U}^+(t,t_0)</math>
 
Vidíme tedy, že pravděpodobností <math>p_i</math> se s časem nemění. Na systému samozřemě během evoluce nebylo provedeno žádné měření.
Derivováním této rovnosti získáme evoluční rovnici pro smíšený stav
 
:<math>\frac{\mathrm{d} W(t)}{\mathrm{d}t}= \frac{1}{i \hbar} [\hat{H(t)},W(t)]</math>,
 
kde <math>\hat{H}</math> je hamiltonián[[Hamiltonián]] systému v daném čase. Tato rovnice se nazývá ''Liouvilleova'', nebo ''Liouville-von Neumannova''.
 
==Statistické aplikaceapl'''Tučný text'''ikace==
 
Máme-li systém popsaný hamiltoniánem <math>\hat{H}</math>, který se nalézá v tepelné lázni o teplotě <math>T</math> (kanonický statistický soubor), pak je stav systému dán operátorem
 
:<math>W=\exp (-\frac{1}{k_B T} \hat{H})/Z\;,</math>,
 
kterýkde není<math>T</math> obecněje [[termodynamická teplota]] systému a <math>k_B</math> je [[Boltzmannova normovánkonstanta]]. Kanonická [[partiční suma]] <math>Z</math> je dána právě tímto normováním,normovací tedy:podmínkou
 
:<math>Z=\operatorname{Tr}\, \exp (-\frac{1}{k_B T} \hat{H})</math>
 
Což je totéž, jako
 
:<math>Z=\sum_i g_i \exp (-\frac{1}{k_B T} \epsilon_i)</math>,
 
kde <math>\epsilon_i</math> jsou velikosti energetických hladnin (vlastních hodnot hamiltoniánu) a <math>g_i</math> jejich degenerace.
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Operátor_hustoty“