|
#REDIRECT [[Operátor hustoty]]
{{upravit - fyzika}}
'''Smíšený stav''' je statistický soubor čistých kvantových stavů. Umožňuje dobře popsat situaci, kdy je systém s určitou pravděpodobností popsán určitým stavovým vektorem.
Nechť se s pravděpodobností <math>p_i</math> nalézá systém v čistém stavu <math>\psi_i</math>, pak celý systém je popsán statistickým operátorem <math>W</math>, někdy také <math>\rho</math>, pro který platí
<math>W = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |</math>,
kde
<math>\sum_i p_i = 1</math>.
Statistický operátor <math>W</math> tedy popisuje smíšený stav. Jestliže je stavový vektor <math>|\psi\rangle</math> reprezentován sloupcovou maticí, pak je <math>W</math> maticí čtvercovou, jejiž dimenze odpovída dimenzi Hilbertova prostoru systému.
Dá se dokázat, že normalizační podmínka pro součet pravděpodobností je ekvivalentní podmínce pro stopu matice
<math>\operatorname{Tr} W = 1</math>.
Z definice statistického operátoru je zřejmé, že i čistý stav je možno popisovat pomocí <math>W</math>, čistý stav pak poznáme tak, že pro něj platí:
<math>\operatorname{Tr} W^2=1</math>
==Měření systému ve smíšeném stavu==
Máme-li určitou pozorovatelnou popsanou operátorem <math>\hat{A}</math>, pak je střední hodnota, kterou předpovídá kvantová mechanika dána
<math>\langle \hat{A} \rangle = \operatorname{Tr} W \hat{A}</math>.
Pravděpodobnost naměření hodnoty <math>|a_j\rangle</math> je pak dána jako:
<math>w_{a_j}=\sum_i p_i \langle \psi_i | \hat{P}_{a_j} | \psi_i \rangle = \operatorname{Tr} W\hat{P}_{a_j}=\operatorname{Tr} \hat{P}_{a_j}W\hat{P}_{a_j}</math>
Kde operátor <math>\hat{P}_{a_j}</math> je projekční operátor do podprostoru odpovídajícího vlastní hodnotě <math>a_j</math>, tedy <math>\hat{P}_{a_j}=|a_j\rangle \langle a_j|</math>, pokud je vlastní hodnota nedegenerovaná.
Zmiňme ještě, že systém je po projdení filtrem <math>\hat{P}_{a_j}</math> ve stavu, kterému odpovídá obecně nenormovaný statistický operátor
<math>W'=\hat{P}_{a_j}W\hat{P}_{a_j}</math>
Máme-li nedokonalý filtr popsaný filtrem <math>\hat{P}</math>, pak je stav systému po průchodu dán formálně stejným vztahem:
<math>W'=\hat{P}W\hat{P}</math>
Máme-li několik nedokonalých filtrů <math>\hat{P}_i</math> a přitom jsme schopni v principu rozeznat, kterým tímto filtrem částice prošla, pak je výsledný statistický operátor <math>W'</math> dán takto:
<math>W'=\sum_i \hat{P}_iW\hat{P}_i</math>
Kde <math>\hat{P}_i = \sum_{j_i} \hat{P}_{a_{j_i}}</math> je projekční operátor projektující do podprostoru odpovídajícímu množině vlastní hodnot <math>\{a_{j_i}\}</math>.
==Časový vývoj smíšeného stavu==
Je-li vývoj čistého stavu popsán evolučním operátorem <math>\hat{U}(t,t_0)</math>, tedy platí
<math>|\psi(t)\rangle =\hat{U}(t,t_0) |\psi(t_0)\rangle</math>
Pak je vývoj stavu <math>W = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |</math> popsaný výrazem:
<math>W(t)= \sum_i p_i \hat{U}(t,t_0)|\psi_i (t_0)\rangle \langle \psi_i (t_0)| \hat{U}^+(t,t_0)= \hat{U}(t,t_0) W(t_0)\hat{U}^+(t,t_0)</math>
Vidíme tedy, že pravděpodobností <math>p_i</math> se s časem nemění. Na systému samozřemě během evoluce nebylo provedeno žádné měření.
Derivováním této rovnosti získáme evoluční rovnici pro smíšený stav
<math>\frac{\mathrm{d} W(t)}{\mathrm{d}t}= \frac{1}{i \hbar} [\hat{H(t)},W(t)]</math>,
kde <math>\hat{H}</math> je hamiltonián systému v daném čase.
==Statistické aplikace==
Máme-li systém popsaný hamiltoniánem <math>\hat{H}</math>, který se nalézá v tepelné lázni o teplotě <math>T</math> (kanonický statistický soubor), pak je stav systému dán operátorem
<math>W=\exp (-\frac{1}{k_B T} \hat{H})</math>,
který není obecně normován. Kanonická partiční suma je dána právě tímto normováním, tedy:
<math>Z=\operatorname{Tr} \exp (-\frac{1}{k_B T} \hat{H})</math>
Což je totéž, jako
<math>Z=\sum_i g_i \exp (-\frac{1}{k_B T} \epsilon_i)</math>,
kde <math>\epsilon_i</math> jsou velikosti energetických hladnin (vlastních hodnot hamiltoniánu) a <math>g_i</math> jejich degenerace.
[[Kategorie:Kvantová fyzika]]
[[de:Dichtematrix]]
[[en:Density matrix]]
[[es:Operador densidad]]
[[eu:Matriz dentsitate]]
[[fi:Tiheysmatriisi]]
[[fr:Matrice densité]]
[[he:אופרטור הצפיפות]]
[[hu:Sűrűségmátrix]]
[[it:Operatore densità]]
[[ja:密度行列]]
[[ko:밀도 행렬]]
[[nl:Dichtheidsmatrix]]
[[pl:Macierz gęstości]]
[[pt:Matriz densidade]]
[[ru:Матрица плотности]]
[[uk:Матриця густини]]
[[zh:密度矩陣]]
| 