Kompaktní množina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m zpresneni tichonova |
kompaktni lieovy grupy |
||
Řádek 1:
'''Kompaktní množina''', nebo také '''kompaktní prostor''', je taková [[množina]] bodů [[topologický prostor|topologického prostoru]], že z každého jejího [[pokrytí]] [[otevřená množina|otevřenými množinami]] lze vybrat pokrytí konečné. Tato definice zobecňuje a formalizuje intuitivní představu konečného [[objem]]u.
V [[Euklidovský prostor|Euklidovských prostorech]] jsou kompaktní množiny právě [[omezená množina|omezené]] a [[uzavřená množina|uzavřené]] [[podmnožina|podmnožiny]]. Například v množině [[reálné číslo|reálných čísel]] '''R''' je uzavřený [[Interval (matematika)|interval]] [0, 1] kompaktní množinou, ale množina [[celé číslo|celých čísel]] '''Z''' nikoliv (není omezená). Stejně tak polouzavřený interval [0, 1) není kompaktní množinou, protože to není uzavřená množina.
Řádek 15:
== Příklady kompaktních množin ==
* [[prázdná množina]]
* [[Cantorova množina]]▼
* libovolný konečný [[topologický prostor]]
▲* [[Cantorova množina]]
* pokud ''a'' a ''b'' jsou [[Reálné číslo|reálná čísla]], je [[interval (matematika)|interval]] [''a'', ''b''] kompaktní množinou v množině reálných čísel.
* uzavřená [[jednotková koule]] v ''konečnědimenzionálním'' normovaném vektorovém prostoru
Řádek 32:
* Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když každá [[posloupnost]] má konvergentní podposloupnost.
* Nechť <math>P</math> je kompaktní metrický prostor, <math>Q</math> je metrický prostor a <math>f: P\to Q</math> je spojitá [[bijekce]]. Potom <math>f</math> je [[homeomorfismus]].
== Kompaktní Lieovy grupy ==
Obzvlášť důležitá je kompaktnost ve studiu [[Lieova grupa|Lieových grup]] a jejich [[reprezentace (grupa)|reprezentací]]. Platí pro ně řada důležitých vlastností a reprezentace obecných Lieových grup se často konstruují pomocí reprezentací kompaktních podgrup.
* Klasifikace kompaktních Lieových grup je známá (jsou to právě kompaktní formy komplexních polojednoduchých Lieových grup).
* Na kompaktní grupě vždy existuje konečná invariantní [[míra]], tzv. [[Haarova míra]], díky které je možné na kompaktních grupách zavést integrování.
* Všechny irreducibilní reprezentace kompaktní Lieovy grupy jsou konečněrozměrné a unitarizovatelné
* Každá reprezentace kompaktní Lieovy grupy se rozpadá na direktní součet konečně rozměrných reprezentací
* Maticové koeficienty těchto reprezentací tvoří ortonormální bázi <math>L^2</math>-funkcí na dané grupě, což umožňuje zobecnit harmnickou anlýzu na nekomutativní kompaktní grupy (viz též [[Peter-Weylova věta]]).
=== VLastnosti ===
== Související články ==
| |||