Rovina: Porovnání verzí

:<math>ax+by+cz+d=0\,\!</math>,

kde koeficienty <math>a, \,b, \,c\,\!</math> nejsou současně [[nula|nulové]] a jsou to koeficienty normálového vektoru roviny (vektoru kolmého k rovině). Koeficienty[[Proměnná|Proměnné]] <math>x, \,y, \,z\,\!</math> jsou souřadnice bodu ležícího v rovině.

V případě, že známe tři body A<math>K, B\, CL,\,M</math> určující rovinu, obecnou rovnici roviny získáme takto: spočteme vektory AB<math>\overrightarrow{KL}</math> a AC<math>\overrightarrow{KM}</math>, vypočítáme jejich [[Vektorový součin]] ze kterého získáme koeficienty <math>a, \,b, \,c\,\!</math> a napíšeme obecnou rovnici. Zbývající koeficient d získáme tak, že dosadíme souřadnice bodu AK (nebo kteréhokoli jiného bodu ze zadání) do napsané rovnice - musí platit, že levá strana rovnice = pravá strana rovnice.

Parametrické vyjádření roviny má například vektorový tvar <math>X=A+t u + s v\,\!</math>, který se dá rozepsat dle složek takto:

:<math>x=1A_1+t- u_1+s v_1\,\!</math><br />

:<math>y=2-A_2+t u_2+6ss v_2\,\!</math><br />

:<math>z=3A_3+t-6s u_3+s v_3\,\!</math>,

kde <math>s,\,t patří do\in R\,\!</math> a <math>X=[1\,\!</math> 2,je 3] jsou souřadnice bodubod, který leží v rovině a vektory v=(1<math>u\, -1, 1)\!</math> a u=(-1<math>v\, 6 -6)\!</math> jsou nekolineární vektory ležící v rovině, tzn. jsou to směrové vektory roviny.

kde <math>p, \,q, \,r</math> vymezují úseky vyťaté rovinou na [[osa|osách]] <math>x, \,y, \,z\,\!</math>.

Srovnáním úsekové a obecné rovnice dostáváme <math>p = -\frac{d}{a}, \,q = -\frac{d}{b}, \,r = -\frac{d}{c}\,\!</math>.

:<math>x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma + p = 0\,\!</math>,

kde <math>p\,\!</math> je [[vzdálenost]] počátku souřadného systému od roviny, tj. délka normály od počátku souřadnicového systému do průsečíku s rovinou,<br /><math>\cos\alpha, \,\cos\beta, \,\cos\gamma\,\!</math> jsou [[směrový kosinus|směrové kosiny]] roviny,<br /><math>\alpha, \,\beta, \,\gamma\,\!</math> představují [[úhel|úhly]], které svírají kladné souřadnicové poloosy s [[normála|normálou]] roviny.<br />[[Normála]] je směrnice [[kolmice|kolmá]] ve všech směrech k rovině.<br />Směrové kosiny lze vyjádřit z obecné rovnice jako

kde <math>\varepsilon=1\,\!</math> pro <math>\sgn (p) = -1\,\!</math> a pro <math>\varepsilon=-1\,\!</math> pro <math>\sgn (p)=1\,\!</math>.