Wikipedie

Pythagorejská trojice: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
fix po přesunu
restrukturalizace, zmena uvodu, smazani casti "odvozeni generatoru"
Řádek 1:
{{upravit - matematika}}
'''Pythagorejská trojice''' je trojice [[přirozené číslo|přirozených čísel]] ''a,b,c'' takových, že
'''Pythagorejská trojice''' jsou matematické funkce pro <math>a, b, c =f()\,\!</math>. Dosazením proměnné, nebo proměnných do funkcí se vypočtou - vygenerují jednotlivé hodnoty pyhtagorejských čísel <math>a,b,c\,\!</math>. Jak proměnné tak i vygenerovaná čísla jsou [[přirozená čísla]].
:<math>a^2+b^2=c^2</math>.
Název '''Pythagorejská trojice''' je odvozen od [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]], která uvádí podobný vztah pro strany pravoúhlého trujúhelníka. Nejznámější příklad pytagorejské trojice jsou čísla ''3,4,5''. Libovolný násobek Pythagorejské trojice je také Pytaghorejská trojice.
 
== ŘešeníGenerátory pythagorejských čísel ==
Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí pro <math>a, b, c =f()\,\!</math>. Dosazením proměnné, nebo proměnných do funkcí se vypočtou - vygenerují jednotlivé hodnoty pyhtagorejských čísel <math>a,b,c\,\!</math>.
Pythagorejská čísla jsou [[přirozená čísla]] ∈{'''''P'''''}, která vyhovují rovnici
[[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlého trojúhelníku]]:
 
:<math>a^2+b^2=c^2\,\!</math>
 
Cílem řešení je najít takové funkce s proměnou je <math>n\,\!</math> ∈{'''''P'''''}, aby vyhovovaly rovnici.
 
Nejvhodnější jsou takové funkce, které by zahrnovaly všechna možná řešení a byla přitom vyloučena ta řešení, která jsou násobky jiných řešení.
 
Násobnými řešeními jsou tatakové řešeníPythagorejské trojice, okterá jsou celočíselným nichžnásobkem vypovídajíjiné následujícípytagorejské matematickétrojice. vztahy:
 
Pokud platí
:<math>a = k \cdot a_0 ,\ b = k \cdot b_0 ,\ c = k \cdot c_0 \,\! </math>
za podmínky, že <math>k\,\!</math> ∈{'''''P'''''} pak po úpravě
:<math>(k \cdot a_0)^2 + (k \cdot b_0)^2 = (k \cdot c_0)^2\,\! </math>
:<math>k^2(a_0^2+b_0^2) = k^2 \cdot c_0^2\,\! </math>
po vykrácení se dochází k základnímu vztahu
:<math>a_0^2+b_0^2=c_0^2\,\!</math>
 
=== Klasické řešení ===
Klasický generátor pythagorejských čísel je funkce <math>a, b, c = f(x, y)\,\!</math> kdy <math>x, y\,in\!mathbb{N}</math> ∈('''''P''''') a <math>x>y\,\!</math>. Existuje ve tvaru:
:<math>a=2xy\,\!</math>
:<math>b=x^2-y^2\,\!</math>
Řádek 38 ⟶ 27:
:<math>b=2n^2+2n\,\!</math>
:<math>c=2n^2+2n+1\,\!</math>
a za podmínky <math>c-b=2\,\!</math>, potom platífunguje generátor
:<math>a=4n\,\!</math>
:<math>b=4n^2-1\,\!</math>
:<math>c=4n^2+1\,\!</math>
 
== Odvození generátoru pythagorových čísel ==
Po úpravě rovnice na tvar<br />
:<math>c^2-b^2=a^2\,\!</math><br />
můžeme na ni nahlížet jako na kvadratickou funkci <math>y=x^2\,\!</math>, kde hledáme přírůstek této funkce, jež má být roven <math>a^2\,\!</math>. Abychom využili vlastností diferenčního počtu, provedeme tyto úpravy:<br />
:<math>x=c\,\!</math><br />
:<math>Dy=D(x^2)=2xD_x-D_x^2\,\!</math><br />
za podmínek <math>x, D_x\,\!</math> ∈{'''''P'''''}, kde <math>D_x\,\!</math> je přírůstek funkce <math>x\,\!</math>. Pro hledané řešení musí platit rovnice:<br />
:<math>2xD_x-D_x^2=a^2\,\!</math>
 
=== Řešení pro D<sub>x</sub> = 1 ===
:<math>2x-1-a^2\,\!</math><br />
:<math>x=\dfrac{a^2+1}{2}\,\!</math>
 
Nyní je nutno najít funkci <math>a=f(n)\,\!</math>, aby pro všechna řešení platilo '''''x'''''∈{'''''P'''''}. Z předcházejícího vztahu je zřejmé, že <math>a^2+1\,\!</math> musí být sudé, tj. <math>a^2\,\!</math> liché, a tak i <math>a\,\!</math> musí být liché.
:<math>a=f(n)=2n-1\,\!</math>
 
Po dosazení<br />
:<math>x=\dfrac{(2n-1)^2+1}{2}=2n^2-2n+1\,\!</math><br />
:<math>c=f(n)=x=2n^2-2n+1\,\!</math><br />
:<math>b=f(n)=c-1=2n^2-2n\,\!</math><br />
 
Rekapitulace:
:<math>a=2n-1\,\!</math>
:<math>b=2n^2-2n\,\!</math><br />
:<math>c=2n^2-2n+1\,\!</math><br />
 
Pro <math>n=1\,\!</math> rovnost platí, ale nevyhovuje, protože vychází <math>1+0=1\,\!</math>, což není trojúhelník. <br />
Úprava funkcí: <math>n_{puv}=m\,\!</math>
:<math>a=2m-1\,\!</math>
:<math>b=2m^2-2m\,\!</math><br />
:<math>c=2m^2-2m+1\,\!</math><br />
 
Po dosazení <math>m=n+1\,\!</math> je konečný výsledek<br />
:<math>a=2n+1\,\!</math>
:<math>b=2n^2+2n\,\!</math><br />
:<math>c=2n^2+2n+1\,\!</math><br />
 
Důkaz:
:<math>(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2\,\!</math><br />
:<math>4n^2+4n+1+4n^4+8n^3+4n^2=4n^4+8n^3+4n^2+4n^2+4n+1\,\!</math>
:<math>4n^4+8n^3+8n^2+4n +1=4n^4+8n^3+8n^2+4n +1\,\!</math>
::<math>L=P\,\!</math>
 
=== Řešení pro D<sub>x</sub> = 2 ===
:<math>2x.2-2^2=a^2\,\!</math><br />
:<math>4x-4=a^2\,\!</math><br />
:<math>x=\frac{a^2+4}{4}=\left(\frac{a}{2}\right)^2+1\,\!</math>
 
Nyní je nutno najít funkci <math>a=f(n)\,\!</math>, aby pro všechna řešení platilo <math>x\,\!</math> ∈{'''''P'''''}. Z předcházejícího vztahu je zřejmé, že <math>a\,\!</math> musí být sudé.<br />
:<math>a=f(n)=2n\,\!</math><br />
Po dosazení<br />
:<math>x=n^2+1=c\,\!</math><br />
:<math>b=c-2=n^2-1\,\!</math><br />
 
Rakapitulace:<br />
:<math>a=2n\,\!</math><br />
:<math>b=n^2-1\,\!</math><br />
:<math>c=n^2+1\,\!</math><br />
 
Pro <math>n\,\!</math> nabývající hodnotu lichého čísla <math>n=2k+1\,\!</math>jsou hodnoty <math>a,b,c\,\!</math> sudá čísla a výsledek je násobkem jiného řešení, což nevyhovuje zadání. Proto se musí odstranit zadání lichých číselných hodnot. Toho se dosáhne touto úpravou funkcí: <math>n_{puv}=m\,\!</math><br />
:<math>a=2m\,\!</math><br />
:<math>b=m^2-1\,\!</math><br />
:<math>c=m^2+1\,\!</math><br />
Po dosazení <math>m = 2n\,\!</math> se dojte k výsledku
:<math>a=4n\,\!</math><br />
:<math>b=4n^2-1\,\!</math><br />
:<math>c=4n^2+1\,\!</math><br />
 
Důkaz:
:<math>(4n)^2+(4n^2-1)^2=(4n^2+1)^2\,\!</math>
:<math>16n^2+16n^4-8n^2+1=16n^4+8n^2+1\,\!</math>
:<math>16n^2+8n^2+1=16n^2+8n^2+1\,\!</math>
::<math>L=P\,\!</math>
 
=== Řešení pro D<sub>x</sub> je sudé ===
:<math>D_x=2k\,\!</math><br />
:<math>2x.(2k)-(2k)^2=a^2\,\!</math><br />
:<math>x=\frac{a^2+4k^2}{4k}=\frac{a^2}{4k}+k\,\!</math><br />
Nyní je nutno najít funkci <math>a = f(n)\,\!</math>, aby pro všechna řešení platilo <math>x\,\!</math>∈'''''{P}'''''. Je zřejmé, že funkce bude mít tvar:<br />
:<math>a = f(n)=2kn\,\!</math><br />
Po dosazení<br />
:<math>x=\frac{(2kn)^2+4k^2}{4k}\,\!</math><br />
:<math>x=kn^2+k=k.(n^2+1)\,\!=c</math><br />
:<math>b=c-2k=k.(n^2+1)-2k=k.(n^2-1)\,\!</math><br />
Rekapitulace:
:<math>a =2.k.n\,\!</math><br />
:<math>b=k.(n^2-1)\,\!</math><br />
:<math>c=k.(n^2+1)\,\!</math><br />
Porovnáním vztahů se vztahy, které jsou uvedeny v rekapitulaci pro Dx = 2, docházíme ke zjištění, že jedná se o násobek <math>k\,\!</math> pro všechna čísla <math>a, b, c\,\!</math>. Řešení těmito funkcemi je násobek jiného řešení, a proto nevyhovuje požadavku zadání.
 
=== Zvláštní hodnoty pro D<sub>x</sub> je sudé – odvození klasického řešení ===
''Tato stránka se právě vytváří. Autor děkuje za pochopení.''<br />
Vrátíme-li se v úvahách zpět do části Řešení pro Dx je sudé ke vztahu <math>x=\frac{a^2}{4k}+k\,\!</math>, kde hledáme vhodnou funkci <math>a = f(n)\,\!</math>, nastávají zvláštní případy pro hodnotu koeficientu <math>k\,\!</math>, a to právě tehdy, je-li druhou mocninou přirozeného čísla <math>m\,\!</math>, tedy je-li naplněna tato podmínka:<br />
:<math>k=m^2\,\!</math>
pak přechází uvedený vztah na tvar:<br />
:<math>x=\frac{a^2}{4k}+k\,\!</math><br />
:<math>x=\frac{a^2}{4m^2}+m^2=\left(\frac{a}{2m}\right)^2+m^2\,\!</math><br />
Potom hledaná funkce <math>a=f(n)\,\!</math> má tvar:
:<math>a=f(n)=2mn\,\!</math><br />
Po dosazení: <br />
:<math>x=\left(\frac{2mn}{2m}\right)^2+m^2=n^2+m^2=c\,\!</math><br />
:<math>b=c-2m^2=n^2+m^2-2m^2=n^2-m^2\,\!</math><br />
Rekapitulace:
:<math>a=2mn\,\!</math><br />
:<math>b=n^2-m^2\,\!</math><br />
:<math>c=n^2+m^2\,\!</math><br />
Odvozený vztah je klasický generátor pythagorejských čísel <math>a, b, c\,\!</math> o dvou proměnných <math>m, n,\,\!</math>, jde o funkci <math>a, b, c = f(m, n)\,\!</math>.
 
{{Portály|Matematika}}
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Pythagorejská_trojice“