Wikipedie

Kvantový harmonický oscilátor: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Xqbot (diskuse | příspěvky)
Roboti
174 908 editací
m [r2.5.2] robot změnil: he:מתנד הרמוני קוונטי; kosmetické úpravy
Bez shrnutí editace
Řádek 1:
[[Soubor:QHarmonicOscillator.png|right|thumb|Lineární haronický oscilátor]]
'''Lineární harmonický oscilátor''' je mechanický systém popsaný [[hamiltonián]]em
 
Modelem '''kvantového lineárního harmonického oscilátoru''' je každý [[oscilace|oscilující]] objekt kolem své rovnovážné polohy např. [[kmity]] atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky [[kvantová mechanika|kvantové mechaniky]], které lze řešit analyticky [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovou rovnicí]]. Řada fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.
: <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^2 x^2</math>.▼
 
== Kvantový popis lineárního oscilátoru ==
V [[klasická mechanika|klasické mechanice]] je řešením oscilující pohyb, konkrétně
Kvantový popis lineárního harmonického oscilátoru je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii <math>V(x)</math>. V poli tohoto potenciálu se studují stacionární stavy a pohyb částice.
 
:Pokud tedy pro <math>V(x(t)=x_{max} \cos (\omega t +\phi_0)\,</math>. platí
: <math>V(x)=\frac{1}{2}m \omega^2 x^2\,,</math>
 
tak klasický [[Hamiltonův operátor]] můžeme zapsat jako
Derivováním pak dostáváme vztah pro [[hybnost]]
▲: <math>\hat H = -\frac{p\hbar^2}{2m}\Delta + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\,.</math>.
 
S ohledem na [[Hamiltonův operátor]] a definici [[Laplaceův operátor|Laplaceova operátoru]] <math>\Delta</math> má stacionární [[Schrödingerova rovnice]] pro lineární harmonický oscilátor tvar
▲: <math>p(t)=- \omega m x_{max} \sin (\omega t +\phi_0)\,</math>.
:<math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2}{\part x^2} + \frac{m\omega^2}{2} x^2 \right) \Psi (x) = E \Psi (x)</math>
 
Vynásobíme-li celou rovnici <math>\frac{2}{\hbar \omega}</math> , získáme
Lineární harmonický oscilátor se vyskytuje v mnoha oblastech fyziky, už jen proto, že každý oscilující pohyb kolem rovnovážné polohy lze aproximovat pohybym v parabolickém potenciálu. příkladem je například závaží na pružině, [[matematické kyvadlo]], vibrace atomů v krystalu atd.
:<math>\left(-\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\part^2}{\part x^2} + \frac{m\omega}{\hbar} x^2 \right) \Psi (x) = \frac{2E}{\hbar\omega} \Psi (x)</math>
 
a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny
Proto má mimořádnou důležitost i řešení tohoto problému v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]]. Nejdůležitějším výsledkem je kvantování stacionárních energetických hladin, konkrétně platí
: <math>\xilambda = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\,,</math>▼
: <math>\hat{x}xi=\sqrt{\frac{\hbar2E}{2m\hbar\omega}}(\hat{a}+\hat{a}^+),,</math>▼
 
rovnice přejde ve tvar
: <math>E_n = \omega \hbar \left(n+\frac{1}{2}\right)</math>.▼
:<math>\left(\frac{\part^2}{\part \xi^2} - \xi^2 \right) \Psi (\xi) = -\lambda \Psi(\xi)\,.</math>
 
Po úpravě dostaneme
Kde <math>n</math> je celé nezáporné číslo. Energie harmonického oscilátoru je tedy vždy vyšší než <math>\frac{1}{2} \omega \hbar</math>. Vidíme, že i při nulové [[teplota|teplotě]] má harmonický oscilátor určitou energii, např. střední hodnota [[kinetická energie|kinetické energie]] je <math>\frac{1}{4} \omega \hbar</math>. Není tedy pravda, jak se často nesprávně říká, že při nulové teplotě ustane jakýkoliv pohyb, např. atomy v krystalu vždy vykonávají přinejmenším tzv. nulové kmity popsané výše.
:<math>\frac{\part^2 \Psi(\xi)}{\part \xi^2} + (\lambda-\xi^2) \Psi(\xi) = 0 \,.</math>
 
=== Odhad řešení v asymptotické oblasti ===
Při výpočtech s harmonickým oscilátorem se s výhodou využívá formalizmu anhilačních a kreačních operátoru, pro které platí
Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na [[vlnová funkce|vlnovou funkci]] <math>\Psi</math> budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá.
Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce <math>\Psi</math> v asymptotické oblasti <math>(\xi\to\pm\infty)</math>. Prohodnoty <math>\xi\to\pm\infty</math> lze <math>\lambda</math> v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar
:<math>\frac{\part^2 \Psi(\xi)}{\part \xi^2} - \xi^2 \Psi(\xi) = 0 \,.</math>
 
Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde <math>A</math> a <math>B</math> jsou libovolné konstanty.
: <math>\hat{a}|n\rangle= \sqrt{n} |n-1\rangle</math>,
: <math>\hat{H}=Psi(\omegaxi) \hbar= (A^-\hatfrac{a}^+\hatxi^2}{a2} + B^\frac{1\xi^2}{2}) \,.</math>▼
 
Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce <math>\Psi</math> diverguje pro <math>(\xi\to\pm\infty)</math> a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí
: <math>\hat{a}^+|n\rangle= \sqrt{n+1} |n+1\rangle</math>,
:<math>\Psi(\xi) \approx A^-\frac{\xi^2}{2} \,.</math>
 
=== Zpřesnění řešení v oblasti konečných hodnot ===
kde <math>|n\rangle</math> je stavový vektor odpovídající n-té energetické hladině. Pomocí těchto operátorů lze vyjádřit operátor polohy a hybnosti.
[[Soubor:Linearni harmonicky oscilator.png|right|thumb|Linearni harmonicky oscilator]]
Mimo [[asymptota|asymptotickou]] oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty <math>\xi</math>, znamená předpokládat, že <math>A</math> na <math>\xi</math> závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovy rovnice]] je ve tvaru
:<math>\Psi(\xi) = A(\Psi)^-\frac{\xi^2}{2} \,,</math>
 
kde <math>A(\Psi)</math> je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu <math>exp(\frac{-\xi^2}{2})</math> dosazením předešlé rovnice pro <math>\Psi</math> získáme novou rovnici pro neznámou funkci <math>A(\Psi)</math>
▲: <math>\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat{a}+\hat{a}^+)</math>
:<math>\frac{\part^2 A}{\part \xi^2} - 2\xi\frac{\part A}{\part \xi} + (\lambda-1)A = 0\,.</math>
 
Funkci <math>A(\Psi)</math> budeme hledat ve tvaru mocninné řad
: <math>\hat{p}=i\sqrt{\frac{1}{2m\omega\hbar}}(\hat{a}^+-\hat{a})</math>
:<math>A(\Psi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k \,.</math>
 
Neznámé koeficienty <math>a_k</math> pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro <math>A</math> do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami <math>\xi^k</math>. Po jistém úsilí získáme
Dosazením do hamiltoniánu pak získáme toto vyjádření pro operátor celkové energie.
:<math>a_k = \frac{(1-\lambda)(5-\lambda)...(2k-3-\lambda)}{k!}a_0 \,,</math> pro k=2,4,6,...
:<math>a_k = \frac{(3-\lambda)(7-\lambda)...(2k-3-\lambda)}{k!}a_1 \,,</math> pro k=3,5,7,...
 
Protože <math>A</math> je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách <math>b_0</math> a <math>b_1</math>. Ukazuje se však, že nekonečná řada <math>A(\Psi)</math> se pro velká <math>\lambda</math> chová jako funkce <math>exp(\frac{-\xi^2}{2})</math> , což znamená, že vlnová funkce <math>\Psi(\xi) = A(\Psi)^-\frac{\xi^2}{2}</math> pro <math>(\xi\to\pm\infty)</math> diverguje. Funkce <math>A(\Psi)</math> proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce <math>A(\Psi)</math> tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým <math>k</math> platí <math>a_{k+2} = 0</math> a pro dosud libovolné <math>\lambda</math> musí splňovat podmínku
▲: <math>\hat{H}=\omega \hbar (\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2})</math>
:<math>\lambda = 2n+1 \,,</math> pro n=0,1,2,...
 
=== Energetické spektru ===
V x-reprezentace má vlnová funkce popisující n-tou energetickou hladinu tento tvar
S ohledem na předešlí vztah a rovnici <math>\lambda = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math> dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru<ref>{{Citace monografie
| příjmení=Skála
| jméno=Lubomír
| titul=Úvod do kvantové mechaniky
| vydavatel=Academia
| místo=Praha
| rok=2005
| isbn=802001316
}}</ref>
<ref>{{Citace elektronické monografie
| titul = Lineární harmonický oscilátor - podrobné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice
| url = http://artemis.osu.cz/mmfyz/qm/qm_4_9_10.htm
| datum přístupu = 2010-12-17
| vydavatel = http://artemis.osu.cz
}}</ref>
▲: <math>E_n = \frac{\hbar\omega\lambda}{2} = \hbar\omega\frac{2n+1}{2} = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \,.</math>.
 
== Srovnání klasického a kvantového oscilátoru ==
: <math>\psi_n(x)=\sqrt[4]{\frac{m\omega}{\pi\hbar}} \frac{1}{\sqrt{n! 2^n}} H_n (\xi) e^{-\xi^2/2}</math>,
*Ze vztahu <math>E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \,.</math> jsme dokázali, že energie kvantového oscilátoru je kvantována a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
 
*Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat, proto klasický harmonický oscilátor může nabývat praktický všech stavů a nemá pro něj vztah smysl. Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
kde
*Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v klasické mechanice stát nemůže.
 
*Rozdíl nastává i u určení kinetické a potenciální energie, kdy u klasického oscilátoru je můžeme určit současně, kdežto v kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie „nekomunikují“.
▲: <math>\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math>
*Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
 
*Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde <math>E<V(x)</math>. Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.
je bezrozměrná souřadnice polohy a <math>H_n</math> jsou [[Hermitovy polynomy]].
 
== Související články ==
Řádek 50 ⟶ 87:
* [[Potenciálová jáma]]
* [[Volná částice]]
 
== Reference ==
<references />
 
== Externí odkazy ==
* Ondřej Kučera: [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Srovn%C3%A1n%C3%AD_klasick%C3%A9ho_a_kvantov%C3%A9ho_oscil%C3%A1toru.pdf Srovnání klasického a kvantového oscilátoru], 19.prosince 2010 [http://fai.utb.cz fai.utb.cz]
* Simulační applet: [http://phet.colorado.edu/en/simulation/bound-states Kvantový harmonický oscilátor], University of Colorado
 
[[Kategorie:Kvantová fyzika]]
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvantový_harmonický_oscilátor“