Existence takového páru v případě že a a b jsou přirozená se dá dokázat následovně:
Vezměme množinu všech celých čísel k,tak aby bk ≤ a.Tato množina je majorovaná a jelikož je to množina celých čisel,tak má maximum.Nazvěme si toto maximum q.Potom máme qb≤a<(q+1).b z čehož vyplývá že 0≤a-qb<b. Nechť r=a-qb. Potom a=bq+r a r∈[0,|b|)∩<math>\mathbb{N}</math>