Eliptická křivka: Porovnání verzí

Odebráno 38 bajtů ,  před 11 lety
m
Robot nahradil entity
m (- Soubor:Elliptic_curve_over_Fp.gif (na Commons smazal commons:User:ZooFari, důvod: No license since 29 October 2010))
m (Robot nahradil entity)
Grupy eliptických křivek jsou [[grupa|aditivní grupy]], to znamená, že základní operace je zde sčítání. Sčítání dvou bodů na eliptické křivce je definováno geometricky.
 
Opačný bod k bodu P[x;y] je bod −P−P[x;−y−y], je tedy zobrazen osovou souměrností posle osy x. Ke každému bodu P existuje bod −P−P.
 
Předpokládejme, že body P a Q jsou dva různé body na eliptické křivce a že &minus;P−P &ne; Q. Abychom tyto dva body sečetli graficky, musíme jimi proložit přímku, která eliptickou křivku protne ještě v právě jednom bodě. Tento bod můžeme nazvat &minus;R−R. Obraz tohoto bodu je hledaný bod R, kde platí <math>R=P+Q</math>.
 
Pokud by platilo, že <math>-P=Q</math>, pak můžeme říct, že že bod Q je opačný k bodu P, tedy že mají stejnou souřadnici x. Sečteme-li tyto dva body (proložíme-li jimi přímku), nezískáme další průsečík s eliptickou křivkou. Tato přímka však eliptickou křivku protne v nekonečnu v pomyslném bodu O, můžeme tedy říct, že <math>P+(-P)=O</math>.
 
Pokud by nastala situace, že <math>P=Q</math>, pak bychom mohli říct, že chceme bod P zdvojnásobit. Tuto operaci učiníme tak, že uděláme tečnu k eliptické křivce s bodem dotyku P. Tato tečna protne eliptickou křivku v právě jednou bodě, který můžeme nazvat &minus;R−R, jeho obraz R je bod, který hledáme.
 
Pokud by nastala situace, kdy <math>P=Q</math> a <math>y=0</math>, jeho zdvojením tečna protne eliptickou křivku v nekonečnu v pomyslném bodě O, řekneme tedy, že <math>2P=O</math>. Pokud bychom chtěli bod P ztrojnásobit, získáme opět bod P, neboť platí <math>3P=2P+P=O+P=P</math>.
V první řadě musíme určit směrnici přímky, na které leží body P a Q. Tuto směrnici s vypočítáme jako <math>\textrm{tg}\, \alpha</math>, <math>s=\frac{y_{p}-y_{q}}{x_{p}-x_{q}}</math>.
 
Díky Viète-Newtonovým vztahům můžeme říct, že pokud Q &ne; &minus;P−P, pak:<br />
<math>x_{R} = s^2 - x_{P} - x_{Q}</math><br />
<math>y_{R} = s(x _{P}-x_{Q}) - y_{P}</math>
 
 
Také opačné body se počítají [[modulo]] p, tedy pro P[x;y] máme &minus;P−P[x;&minus;y−y modulo p].
 
== Eliptické křivky nad m-bitovými řetězci ==
34 224

editací