Norma (matematika): Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m robot přidal: no:Norm (matematikk) |
m r2.6.3) (robot přidal: sl:Norma (matematika); kosmetické úpravy |
||
Řádek 1:
'''Norma''' je [[funkce (matematika)|funkce]], která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. ''délku'' nebo ''velikost''), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě '''seminormy''' se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.
== Definice ==
Nechť ''V'' je [[vektorový prostor]] nad nějakým [[Těleso (algebra)|podtělesem]] ''F'' tělesa [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] a ''p'' je reálná [[funkce (matematika)|funkce]] definovaná na ''V''. Funkce ''p'' je '''seminorma na''' ''V'', jestliže je
* pozitivně homogenní: ''p''(''a'' '''v''') = |''a''| ''p''('''v'''), pro ''a''
* subaditivní: ''p''('''u''' + '''v''') ≤ ''p''('''u''') + ''p''('''v'''), pro '''u''', '''v'''
Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že ''p''('''0''') = 0 a následně ze subaditivity ''p''('''v''') ≥ 0, pro všechna '''v'''
'''Norma''' je seminorma ''p'', která je navíc pozitivně definitní:
* ''p''('''v''') = 0 právě tehdy, když '''v''' = '''0'''.
Pro normu se namísto ''p''('''v''') zpravidla používá označení ||'''v'''||.
== Příklady ==
* Každá norma je seminorma.
* [[Absolutní hodnota]] je norma na reálných číslech.
* Každá [[lineární forma]] ''f'' na vektorovém prostoru definuje seminormu '''x''' → |''f''('''x''')|.
=== Eukleidovská norma ===
Na prostoru <math>\mathbb{R}^n</math> lze definovat tzv. ''eukleidovskou normu'' vektoru '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) jako
:<math>\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math>
Tato norma udává vzdálenost bodu '''x''' od počátku (což je důsledek [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]]).
=== ''p''-norma ===
Nechť ''p'' ≥ 1 je reálné číslo.
:<math>\|\emph{\textbf{x}}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}.</math>
Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro ''p'' = 2).
=== Maximová norma ===
:<math>\|\emph{\textbf{x}}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).</math>
=== Norma na prostoru se skalárním součinem ===
Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu
:<math>\|x\| := \sqrt{(x,x)}.</math>
Řádek 38:
: <math> |(x,y)| \leq \|x\| \, \|y\|.</math>
== Vlastnosti ==
[[
Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).
Řádek 45:
Normy ||•||<sub>α</sub> and ||•||<sub>β</sub> na vektorovém prostoru ''V'' se nazývají ''ekvivalentní'', jestliže existují kladná reálná čísle ''C'' a ''D'' taková, že
:<math>C\|x\|_\alpha\leq\|x\|_\beta\leq D\|x\|_\alpha</math>
pro všechna ''x''
:<math>\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt{n}\|x\|_2,</math>
:<math>\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt{n}\|x\|_\infty,</math>
Řádek 55:
Seminormy jsou úzce spjaty s [[Konvexní množina|konvexními]], [[Vyvážená množina|vyváženými]], [[Pohlcující množina|pohlcujícími množinami]]. Nechť ''p'' je seminorma na vektorovém prostoru ''V'', pak pro libovolný skalár α jsou množiny {''x'' : ''p''(''x'') < α} a {''x'' : ''p''(''x'') ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.
Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině ''C'' prostoru ''V'' existuje seminorma ''
:<math>\mu_C(x) := \inf\{\alpha : \alpha > 0, x \in \alpha C\}.</math>
Pro tuto seminormu platí
Řádek 61:
== Související články ==
* [[Normovaný vektorový prostor]]
* [[Metrický prostor]]
* [[Euklidovský prostor]]
[[Kategorie:Lineární algebra]]
Řádek 86:
[[pt:Norma (matemática)]]
[[ru:Норма (математика)]]
[[sl:Norma (matematika)]]
[[sv:Norm (matematik)]]
[[uk:Норма (математика)]]
| |||