|
[[Soubor:Triangle on spherical plane.png|thumb|[[Trojúhelník]] se třemi [[pravý úhel|pravými úhly]] v eliptické geometrii.]]
[[Soubor:End of universe.jpg|thumb|240px|[[Rovnostranný trojúhelník]] v eliptické, hyperbolické a EuklidovskéEukleidovské geometrii.]]
'''NeeuklidovskáNeeukleidovská geometrie''' je obecné označení pro takové geometrie (tj. systémy splňující první čtyři EuklidovyEukleidovy postuláty), které nesplňují pátý [[EuklidůvEukleidův postulát]]. Jejími nejdůležitějšími případy jsou [[hyperbolická geometrie]], [[eliptická geometrie]] (a její zvláštní případ [[sférická geometrie]]), [[Riemannova geometrie]] a [[absolutní geometrie]]. Geometrie splňující i pátý postulát se nazývá [[euklidovskáeukleidovská geometrie|euklidovskáeukleidovská]].
== Historie ==
Již od [[antika|antiky]] se nejlepší světoví [[matematik]]ové snažili podat důkaz, že pátý EuklidůvEukleidův postulát je důsledkem prvních čtyř. Tento [[postulát]] je totiž výrazně složitější než postuláty zbylé, a to nejen svým zněním ale také významem - nepopisuje totiž žádnou fundamentální vlastnost základních geometrických objektů ale je spíše jistým netriviálním tvrzením o nich. Výsledkem těchto neúspěšných pokusů o důkaz je celý seznam vět, které jsou ekvivalentní s pátým postulátem (tj. mohou jej nahradit). Mezi ně patří například věta „součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým“ nebo [[Pythagorova věta]].
Všechny pokusy o důkaz tohoto postulátu ukončil až v roce [[1829]] [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij]], když sestrojil hyperbolickou geometrii, v níž pátý postulát neplatí.
== Chování rovnoběžek v různých geometriích ==
[[Soubor:Neeuklid.png|thumb|450px|Chování [[rovnoběžka|rovnoběžek]] v [[euklidovskáeukleidovská geometrie|euklidovskéeukleidovské]] a dvou neeuklidovskýchneeukleidovských geometriích.]]
Hlavním rozdílem neeuklidovskéneeukleidovské a euklidovskéeukleidovské geometrie je povaha [[Rovnoběžky|rovnoběžek]]. EuklidůvEukleidův pátý postulát je ekvivalentní tvrzení, že pro každou [[přímka|přímku]] ''p'' a [[bod]] ''A'', který neleží na ''p'', existuje právě jedna přímka procházející bodem ''A'', která neprotíná ''p''. Naproti tomu v hyperbolické geometrii existuje nekonečně mnoho přímek procházejících bodem ''A'' a neprotínajících ''p'', v eliptické geometrii se naopak jakákoliv dvojice přímek vzájemně protíná.
Další možný způsob popisu odlišností mezi těmito geometriemi je následující: uvažujme dvě přímky v dvojrozměrné rovině, které jsou [[kolmost|kolmé]] k třetí přímce. V EuklidovskéEukleidovské geometrii mají takové přímky stejnou vzdálenost a označujeme je jako rovnoběžky. V hyperbolické geometrii jsou "zakřivené od sebe" a směrem od společné kolmice jejich vzdálenost roste. V eliptické geometrii jsou "zakřivené k sobě" až se protnou. Z tohoto důvodu neexistují v eliptické geometrii rovnoběžky.
== Související články ==
{{Portál Matematika}}
* [[EuklidovskáEukleidovská geometrie]]
* [[Hyperbolická geometrie]]
* [[Eliptická geometrie]]
| 