Rozptyl (statistika): Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Vyprázdnění stránky |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 1:
'''Rozptyl''' (též '''střední kvadratická odchylka''', '''střední kvadratická fluktuace''', '''variance''' nebo také '''disperze''') se používá v [[teorie pravděpodobnosti|teorii pravděpodobnosti]] a [[statistika|statistice]]. Je to druhý [[centrální moment]] [[náhodná veličina|náhodné veličiny]]. Jedná se o [[charakteristika náhodné veličiny|charakteristiku]] variability [[rozdělení pravděpodobnosti]] náhodné veličiny, která vyjadřuje variabilitu rozdělení [[statistický soubor|souboru]] náhodných hodnot kolem její [[střední hodnota|střední hodnoty]].
Rozptyl [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] <math>X</math> se označuje <math>\sigma^2(X)</math>, <math>S^2(X)</math>, <math>D(X)</math> nebo <math>\operatorname{var}(X)</math>.
== Definice ==
Rozptyl je definován jako [[střední hodnota]] kvadrátů odchylek od [[střední hodnota|střední hodnoty]]. Odchylku od střední hodnoty, která má rozměr stejný jako náhodná veličina, zachycuje [[směrodatná odchylka]].
Pro diskrétní náhodnou veličinu jej můžeme definovat vztahem
:<math>\sigma^2 = \sum_{i=1}^n {\left[x_i - \operatorname{E}(X)\right]}^2 p_i = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - {[\operatorname{E}(X)]}^2</math>,
kde <math>x_i</math> jsou hodnoty, kterých může náhodná veličina <math>X</math> nabývat (s [[pravděpodobnost]]mi <math>p_i</math>) a <math>\operatorname{E}(X)</math> je [[střední hodnota]] veličiny <math>X</math>.
Je-li pravděpodobnost všech diskrétních hodnot stejná, pak se předchozí vztah zjednoduší na
:<math>\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\operatorname{E}(x))^2</math>
Pro spojitou náhodnou veličinu definujeme rozptyl vztahem
:<math>\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty {\left[x-\operatorname{E}(X)\right]}^2 f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\mathrm{d}x - {[\operatorname{E}(X)]}^2</math>,
kde <math>f(x)</math> je [[hustota pravděpodobnosti]] veličiny <math>X</math>.
== Vlastnosti ==
Pro rozptyl [[součin]]u náhodné veličiny <math>X</math> a [[konstanta|konstanty]] <math>a</math> platí
:<math>\sigma^2(aX) = a^2 \sigma^2(X) \,</math>
Rozptyl náhodné veličiny je invariantní vůči posunu <math>b</math>, tedy
:<math>\sigma^2(aX+b) = a^2 \sigma^2(X) \,</math>
Rozptyl [[součet|součtu]] i [[rozdíl]]u náhodných veličin <math>X, Y</math> je roven
:<math>\sigma^2(X\pm Y) = \sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + 2 \operatorname{Cov}(X,Y)</math>
:<math>\sigma^2(aX\pm bY) = a^2\sigma^2(X) + b^2\sigma^2(Y) + 2ab \operatorname{Cov}(X,Y)</math>,
kde <math>\operatorname{Cov}(X,Y)</math> značí [[kovariance|kovarianci]] veličin <math>X</math> a <math>Y</math>.
Pokud jsou náhodné veličiny nezávislé, jejich [[kovariance]] je nulová, a tedy rozptyl součtu (rozdílu) je roven součtu rozptylů jednotlivých náhodných veličin.
Obdobná tvrzení platí také pro rozptyl součtu většího počtu náhodných veličin.
Pro výpočet rozptylu se často používá následující vztah
:<math>\sigma^2(X) = \operatorname{E}(X^2) - {[\operatorname{E}(X)]}^2</math>
== Související články ==
* [[Směrodatná odchylka]]
* [[Střední odchylka]]
* [[Charakteristika náhodné veličiny]]
{{Pahýl - matematika}}
[[Kategorie:Matematická statistika]]
[[ar:تباين]]
[[bg:Дисперсия (теория на вероятностите)]]
[[bn:ভেদাঙ্ক]]
[[ca:Variància]]
[[da:Varians]]
[[de:Varianz]]
[[el:Διακύμανση]]
[[en:Variance]]
[[eo:Varianco]]
[[es:Varianza]]
[[et:Dispersioon]]
[[eu:Bariantza]]
[[fa:واریانس]]
[[fi:Varianssi]]
[[fr:Variance (statistiques et probabilités)]]
[[gl:Varianza]]
[[he:שונות]]
[[id:Varians]]
[[is:Dreifni]]
[[it:Varianza]]
[[ja:分散]]
[[ko:분산]]
[[lt:Dispersija]]
[[mk:Варијанса]]
[[ms:Varians]]
[[nl:Variantie]]
[[no:Varians]]
[[pl:Wariancja]]
[[pt:Variância]]
[[ru:Дисперсия случайной величины]]
[[scn:Varianza]]
[[sh:Varijansa]]
[[simple:Variance]]
[[sk:Rozptyl (štatistika)]]
[[sl:Varianca]]
[[sr:Варијанса]]
[[su:Varian]]
[[sv:Varians]]
[[tr:Varyans]]
[[uk:Дисперсія випадкової величини]]
[[ur:تفاوت]]
[[vi:Phương sai]]
[[zh:方差]]
| |||