Eliptická křivka: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 16:
=== Sčítání bodů na eliptické křivce ===
==== Graficky ====
Grupy eliptických křivek jsou [[grupa|aditivní grupy]], to znamená, že základní operace je zde sčítání. Sčítání dvou bodů na eliptické křivce je definováno geometricky.
Opačný bod k bodu P[x;y] je bod −P[x;−y], je tedy zobrazen osovou souměrností posle osy x. Ke každému bodu P existuje bod −P.
Řádek 29:
==== Algebraicky ====
Další možností, jak sčítat body na eliptické křivce, je použití algebraických výpočtů. Tento způsob je nutný například u [[kryptografie]] na bázi eliptických křivek.
V první řadě musíme určit směrnici přímky, na které leží body P a Q. Tuto směrnici s vypočítáme jako <math>\textrm{tg}\, \alpha</math>, <math>s=\frac{y_{p}-y_{q}}{x_{p}-x_{q}}</math>.
Řádek 45:
== Eliptická křivka nad tělesem <b><math>F_{p}</math></b> ==
[[Soubor:Elliptic_curve_over_Fp.gif||right|400px|thumb|Eliptická křivka nad tělesem Fp]]
Počítání nad reálnými čísly je pomalé a nepřesné z důvodu zaokrouhlování. Kryptografické aplikace potřebují přesné a rychlé výpočty, proto se v praxi používají eliptické křivky nad [[těleso|tělesem]] <math>F_{p}</math>.
Poznamenejme, že s [[těleso|tělesem]] <math>F_{p}</math> pracujeme jako s množinou zbytkových tříd [[modulo]] p, počítáme tedy s čísly 0 až <math>p-1</math> a že končíme výpočet tehdy, když máme zbytek po dělení prvočíslem p v tomto rozmezí. Pro [[těleso]] <math>F_{23}</math> tedy počítáme s přirozenými čísly 0 až 22 a výsledkem matematických operací bude opět číslo v rozmezí 0 až 22.
Eliptická křivka nad [[těleso|tělesem]] Fp může být vytvořena z libovolných čísel a, b, která jsou však v tělese <math>F_{p}</math>. Eliptická křivka obsahuje všechny body o souřadnicích [x;y], které vyhovují rovnici <math>y^2 \equiv x^3 + ax + b \mod p</math>.
Pokud <math>4a^3 + 27b^2 \mod p \ne 0</math>, pak eliptická křivka může zformovat grupu.
=== Sčítání bodů na eliptické křivce nad tělesem <b><math>F_{p}</math></b> ===
Sčítání bodů na eliptické křivce nad [[těleso|tělesem]] <math>F_{p}</math> již nelze provádět efektivně graficky, používá se pouze algebraický postup.
Algebraický postup se sčítání na eliptické křivce nad reálnými čísly příliš neliší, veškeré rovnice pouze budeme uvažovat nad tělesem <math>F_{p}</math>, tedy modulo p.
Řádek 70:
Také opačné body se počítají [[modulo]] p, tedy pro P[x;y] máme −P[x;−y modulo p].
== Eliptické křivky nad m-bitovými řetězci ==
| |||