Rozšířená reálná čísla: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
Meziuložení
Hotovo, pro dnešek končím
Řádek 24:
Na <math>R^*\,\! </math> lze zavést strukturu [[Topologický prostor|topologického prostoru]] tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.
 
Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z [[Metrický prostor|metrik]], která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na <math>\R\subsetneq\R^* \,\!</math>) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení <math>d(x,y) = |\operatorname{arctan}(x)- \operatorname{arctan}(y)| \,\! </math>, pokud funkci [[arctan]] dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že <math>\operatorname{arctan}(+\infty) = {\pi\over 2} \, , \operatorname{arctan}(-\infty) = -{\pi\over 2} \,\!</math>.
 
Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení <math>d(x,y) = |\operatorname{arctan}(x)- \operatorname{arctan}(y)| \,\! </math>, pokud funkci [[arctan]] dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že <math>\operatorname{arctan}(+\infty) = {\pi\over 2} \, , \operatorname{arctan}(-\infty) = -{\pi\over 2} \,\!</math>.
 
Tato topologie definuje konvergenci (tj. limitu posloupnosti) stejným způsobem, jako definice uvedená níže (ta je však přesto užitečná, neboť topologický prostor je mnohem pokročilejší pojem, než nevlastní limita).
Řádek 36 ⟶ 34:
== Limita funkce ==
 
Je-li <math> f : D_f \subseteq \R\to\R\,\! </math> [[Funkce (matematika)|funkce]], <math> y\in R^* </math> a <math> x_0\in R^* </math> takové, že <math> x_0</math> leží v [[Uzávěr množiny|uzávěru]] <math> D_f \,\! </math> ( [[definiční obor]] <math> D_f \,\! </math> sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru - viz topologie na <math> R^* </math> - může ležet i nekonečno), pak říkáme, že
::: <math> y = \lim_{x\to x_0}f(x)\,\! </math>,

pokud pro každé prstencové okolí <math>P_1</math> bodu <math>y</math> existuje okolí <math>P_2</math> bodu <math>x_0</math> takové, že [[Obraz množiny|obraz]] <math>P_2</math> leží v <math>P_1</math> (tj. <math> f[P_2] \subseteq P_1\,\! </math>). Jinými slovy,
 
: <math> y = \lim_{x\to x_0}f(x) \iff \forall\epsilon\in\R^+\exist\delta\in\R^+:f[P(x_0, \delta)] \subseteq P(f(x_0), \epsilon) \,\! </math>
 
[[Kategorie:Matematická analýza]]