Spojité zobrazení: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Přidal příklad na topol.prostoru →Příklady spojitých a nespojitých zobrazení |
Opravil typografii poznámky |
||
Řádek 41:
* Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>, kde <math>\scriptstyle \left \| x \right\| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}|x(t)|</math> prostor spojitých reálných funkcí na intervalu <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math>. Dále mějme <math>\scriptstyle K:\,\left \langle 0,\, 1 \right \rangle \times \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \to \R</math> spojitou funkci. Definujme <math>\scriptstyle A:\,X \to Y,\ (Ax)(t)=\int_0^1 K(t,\,s ) x(s) ds</math>. Pak <math>\scriptstyle A\,</math> '''je spojité''' zobrazení v <math>\scriptstyle\ C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right )</math><ref group=pozn>Platí: <math>\scriptstyle \forall x \in X: \left \| Ax \right \| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}{\left | \int_0^1{K \left ( t,\, s\right ) x \left (s \right )ds}\right |} \leq \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}{\int_0^1{\left | K \left ( t,\, s\right )\right | \, \left | x \left (s \right )\right | ds}} \leq \left \| x \right \| \sup_{\left (t, \, s \right ) \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \times\left \langle 0,\, 1 \right \rangle}{\left | K \left (t,\,s \right ) \right |} = \left \| x \right \| \max_{\left (t, \, s \right ) \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \times\left \langle 0,\, 1 \right \rangle}{\left | K \left (t,\,s \right ) \right |}</math> a druhá část je konstanta nezávislá na x. Tedy zobrzení je omezené a lineární a tudíž i spojité.</ref>.
* Příkladem spojitého zobrazení na topologickém prostoru, který není metrizovatelný, je [[Funkce Alef|funkce <math>\aleph</math>]], která ordinálnímu číslu <math>\alpha</math> přiřadí <math>\alpha</math>-tou nejmenší nekonečnou [[mohutnost]]. Jedná se o zobrazení na [[Vlastní třída|vlastní třídě]], ovšem pro každé [[Vlastní třída|ordinální číslo]] <math>\beta</math> (které je zároveň množinou ordinálních čísel) je [[Restrikce zobrazení|restrikce]] této funkce na <math>\beta</math> spojitým <ref group="pozn">Pokud konverguje <math>\{\alpha_n\}\subseteq\beta\,\!</math> k nějakému <math>\alpha\in\beta\,\!</math>, pak posloupnost <math>\{\aleph_{\alpha_n}
* Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C^1 \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math> a <math>\scriptstyle X =\left ( C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>, kde <math>\scriptstyle \left \| x \right\| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}|x(t)|</math> prostor [[Diferencovatelnost|diferencovatelných]] reálných funkcí na intervalu <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math>. Pak <math>\scriptstyle D:\,X \to Y,\ (Dx)(t)=x'(t)</math> je zobrazení, které každé funkci přiřadí její derivaci. Toto zobrazení '''není spojité'''<ref group="pozn">Vezměme <math>\scriptstyle x(t)=t^n, n \in /N</math>, pak <math>\scriptstyle (Ax)(t)=nt^n, \left \| Ax \right \| = n</math>. Tedy A není [[Omezený operátor|omezené]] na <math>\scriptstyle \left \{ x \in X: \, \left \| x \right \| \right \}\le 1</math>, a tedy není ani spojitá.</ref>.
| |||