Spojité zobrazení: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Příklady spojitých a nespojitých zobrazení: opravy chyb a nejasností |
|||
Řádek 36:
<!-- * Obdobně pro integrál na prostoru <math>\scriptstyle X = \left ( C \left ( \R \right), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>.
Je-li X spočetná množina, je identické zobrazení: F(X; Y ) ! Y X spojité (tj. '(f) = ff(x)gx2X). Jinými slovy, stejnomˇerná konvergence omezených funkcí implikuje bodovou konvergenci.-->
* Každé zobrazení z diskrétního prostoru do libovolného metrického prostoru je '''spojité'''.
* Každé zobrazení z libovolného metrického prostoru do pseudometrického prostoru (X; d), kde d = 0, je '''spojité'''.
* Zobrazení na reálném vektorovém prostoru definované jako přenásobení danou maticí, '''je spojité'''. Formálně: Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( \R^n, \left \| \cdot \right \| \right ) </math> , kde <math>\scriptstyle \left \| x \right \| = \sqrt{\left ( \sum^n_i{{x_i}^2} \right )}</math> je Euklidova metrika. Mějme dále danou matici <math>\scriptstyle A \in \R^{n \times n}</math> a definujme zobrazení <math>\scriptstyle A:\,X \to X,\ A(x)=Ax</math>. Pak toto zobrazení '''je spojité'''.
Řádek 44:
* Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>, kde <math>\scriptstyle \left \| x \right\| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}|x(t)|</math> prostor spojitých reálných funkcí na intervalu <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math>. Dále mějme <math>\scriptstyle K:\,\left \langle 0,\, 1 \right \rangle \times \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \to \R</math> spojitou funkci. Definujme <math>\scriptstyle A:\,X \to Y,\ (Ax)(t)=\int_0^1 K(t,\,s ) x(s) ds</math>. Pak <math>\scriptstyle A\,</math> '''je spojité''' zobrazení v <math>\scriptstyle\ C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right )</math>.
* Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C^1 \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math> a <math>\scriptstyle X =\left ( C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>, kde <math>\scriptstyle \left \| x \right\| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}|x(t)|</math> prostor diferencovatelných reálných funkcí na intervalu <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math>. Pak <math>\scriptstyle D:\,X \to Y,\ (Dx)(t)=x'(t)</math> je zobrazení, které každé funkci přiřadí její derivaci. Toto zobrazení '''není spojité'''<ref group="pozn">Vezměme <math>\scriptstyle x(t)=t^n, n \in /N</math>, pak <math>\scriptstyle (Ax)(t)=nt^n, \left \| Ax \right \| = n</math>. Tedy A není omezené na <math>\scriptstyle \left \{ x \in X: \, \left \| x \right \| \right \}\le 1</math>, a tedy není ani spojitá.</ref>.
== Odkazy ==
| |||