Wikipedie

Spojité zobrazení: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Oprava nesmyslu, co jsem tady napsal
přidání příkladů, formulace
Řádek 22:
Ekvivalentně, zobrazení <math>f</math> z prostoru <math>(X, \rho)\,\!</math> do <math>(Y, \sigma)\,\!</math> je spojité, právě když pro každé <math>x_0\in X\,\!</math> a kladné reálné číslo <math>\epsilon</math> existuje kladné reálné <math>\delta</math> takové, že pro každý bod <math>x\in X\,\!</math> splňující <math>\rho(x,x_0)<\delta\,\!</math> platí <math>\sigma( f(x_0), f(x)) <\epsilon \,\!</math>. Jinými slovy, vzdálenost obrazů dvou bodů může být libovolně blízká, pokud zvolíme vzdálenost vzorů dostatečně blízko.
 
NaSpeciálně metrickýchna [[normovaný vektorový prostor|normovaných prostorech]] se dá použít ještě ekvivalentní definice spojitosti v bodě:
:Zobrazení <math>f:\,X\to Y</math> je spojitá v bodě <math>x\in X\,\!</math>, jestliže platí implikace <math>x_n \to x \Rightarrow f(x_n)\to f(x)\,</math>.
 
Řádek 36:
== Příklady spojitých a nespojitých zobrazení ==
 
{{Pahýl část}}<!-- něco metrického a lineární prostor a násobení maticí-->
<!-- * Obdobně pro integrál na prostoru <math>\scriptstyle X = \left ( C \left ( \R \right), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>.-->
* Zobrazení na reálném vektorovém prostoru definované jako přenásobení danou maticí, '''je spojité'''. Formálně: Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right )R^n, \left \| \cdot \right \| \right ) </math> , kde <math>\scriptstyle \left \| x \right \| = \sup_sqrt{t \in \left \langle( 0,\, 1sum^n_i{{x_i}^2} \right \rangle)}|x(t)|</math> prostorje spojitýchEuklidova reálnýchmetrika. funkcíMějme nadále intervaludanou <math>\scriptstyle\left \langle 0,\, 1 \right \rangle</math>. Dále mějmematici <math>\scriptstyle K:\,\leftA \langlein 0,\, 1 \right \rangleR^{n \times \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \to \Rn}</math> spojitoua funkci.definujme Definujmezobrazení <math>\scriptstyle A:\,X \to YX,\ A(Ax)(tx)=\int_0^1 K(ts)x(t)dtAx</math>. Pak <math>\scriptstyletoto A\,</math>zobrazení '''je spojité zobrazení v <math>\scriptstyle\ C \left ( \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \right )</math>'''.
* Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C^1 \left ( \Rleft \langle 0,\, 1 \right \rangle \right ), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>, kde <math>\scriptstyle \left \| x \right\| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}|x(t)|</math> prostor diferencovatelnýchspojitých reálných funkcí na celémintervalu oboru<math>\scriptstyle\left reálných\langle čísel0,\, 1 \right \rangle</math>. PakDále mějme <math>\scriptstyle K:\,\left \langle 0,\, 1 \right \rangle \times \left \langle 0,\, 1 \right \rangle \to \R</math> spojitou funkci. Definujme <math>\scriptstyle DA:\,X \to Y,\ (DxAx)(t)=\int_0^1 K(ts)x'(t)dt</math>. Pak <math>\scriptstyle A\,</math> '''je spojité''' zobrazení, kterév každé<math>\scriptstyle\ funkciC přiřadí\left její( derivaci.\left Toto\langle zobrazení0,\, není1 spojité<ref\right group=pozn>viz\rangle Bouchala\right )</refmath>.
* Mějme <math>\scriptstyle X = \left ( C^1 \left ( \R \right), \left \| \cdot \right \| \right ) </math> a <math>\scriptstyle X = \left ( C \left ( \R \right), \left \| \cdot \right \| \right ) </math>, kde <math>\scriptstyle \left \| x \right\| = \sup_{t \in \left \langle 0,\, 1 \right \rangle}|x(t)|</math> prostor diferencovatelných reálných funkcí na celém oboru reálných čísel. Pak <math>\scriptstyle D:\,X \to Y,\ (Dx)(t)=x'(t)</math> je zobrazení, které každé funkci přiřadí její derivaci. Toto zobrazení '''není spojité'''<ref group="pozn">Vezměme <math>\scriptstyle x(t)=t^n, n \in /N</math>, pak <math>\scriptstyle (Ax)(t)=nt^n, \left \| Ax \right \| = n</math>. Tedy A není omezené na <math>\scriptstyle \left \{ x \in X: \, \left \| x \right \| \right \}\le 1</math>, a tedy není ani spojitá.</ref>.
 
== Odkazy ==
=== Poznámky ===
<references group = "pozn"/>
=== Reference ===
 
Řádek 54 ⟶ 55:
 
[[de:Stetigkeit (Topologie)]]
[[en:Continuous function (topology)]]
[[fa:پیوستگی توپولوژیک]]
[[he:רציפות (טופולוגיה)]]
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Spojité_zobrazení“