Topologický prostor: Porovnání verzí

Odebráno 71 bajtů ,  před 10 lety
Vylepšil neformální úvod
(Mírně upravil sekci "Neformální úvod")
(Vylepšil neformální úvod)
== Neformální úvod ==
 
Pojmy [[uzavřená množina]], [[Kompaktní množina|kompaktní množina]], [[Spojité zobrazení|spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost|konvergence posloupnosti]] a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny [[Reálná čísla|reálných čísel]]. Lze je však podobně definovat na každé množině, jejímž prvkůmdvojicím prvků lze přiřadit jakousi "vzdálenost" od ostatních prvků (například "vzdálenost"na dvoumnožně [[Spojitá funkce|spojitých]] [[Matematická funkce|funkcí]] lze definovat jako "vzdálenost" prvků chápat buď [[Určitý integrál|integrál]] z jejich rozdílu, nebo jako maximum z jejich rozdílu apod.).
 
Jelikož se takto zavedené pojmy ukázaly v matematice jako velmi užitečné, byly formalizovány pomocí pojmu [[metrický prostor]], což je každá množina vybavená funkcí, která splňuje několik axiomů, které zajišťují jistou míru podobnosti této funkce s klasickou vzdáleností. Metrický prostor je velmi obecná [[matematická struktura]], takže je-li nějaké tvrzení dokázáno pro každý metrický prostor, [[Strukturní přístup|není již třeba]] jej ověřovat zvlášť pro čísla, pro body prostoru, pro funkce atd. (Totéž platí pro topologický prostor.)
 
Pojem "Topologický prostor" vznikl proto, aby bylo možné mnoho metrických pojmů (viz příklady výše) rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou [[Ordinální číslo|ordinální čísla]].
 
Každý metrický prostor je automaticky topologickým prostorem, protože systém všech podmnožin "otevřených v metrickém smyslu" vždy tyto axiomy splňuje. Potom pojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.
 
Metrické a topologické prostory jsou příkladem [[Matematická struktura|abstraktní struktury]], která umožňuje dokázat větu jednou (např. "V každém kompaktním topologickém prostoru platí, že...") a [[Strukturní přístup|tím je ihned ověřena]] pro mnoho různých množin, které vyhovují definici (v tomto případě definici kompaktního topologického prostoru).
 
Topologie je velmi abstraktní disciplína; v porozumění definicím a větám pomáhá si je nejprve představit na reálných číslech, poté v rovině či [[Euklidovský prostor|euklidovském prostoru]] <math> \R^n \,\!</math>, poté na metrickém prostoru a nakonec v obecném topologickém prostoru.