Topologický prostor: Porovnání verzí

Přidáno 1 454 bajtů ,  před 10 lety
Rozvedl neformální definici, abych mohl vyhodit úvodní zmínku, že je třeba znát Metrický prostor, jak žádal Tchoř na Diskuse_k_Wikipedii:WikiProjekt_Matematika#Upozornění na prerekvizity
(Příklady, co je homeomorfní)
(Rozvedl neformální definici, abych mohl vyhodit úvodní zmínku, že je třeba znát Metrický prostor, jak žádal Tchoř na Diskuse_k_Wikipedii:WikiProjekt_Matematika#Upozornění na prerekvizity)
== Neformální úvod ==
 
Pojmy [[uzavřená množina]], [[Kompaktní množina|kompaktní množina]], [[Spojité zobrazení|spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost|konvergence posloupnosti]] a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny reálných čísel. Lze je však podobně definovat na každé množině, jejímž prvkům lze přiřadit jakousi "vzdálenost" od ostatních prvků (například "vzdálenost" dvou [[Spojitá funkce|spojitých]] [[Matematická funkce|funkcí]] lze definovat jako [[Určitý integrál|integrál]] z jejich rozdílu nebo jako maximum z jejich rozdílu).
Pojem "Topologický prostor" vznikl proto, aby se některé pojmy z [[Metrický prostor|metrických prostorů]] daly zobecnit i na některé množiny, na nichž nemá smysl zavádět metriku (např. [[Ordinální číslo|ordinální čísla]]). Příkladem takových pojmů jsou: [[uzavřená množina]], [[Kompaktní množina|kompaktní množina]], [[Spojité zobrazení|spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost|konvergence posloupnosti]].
 
Jelikož se takto zavedené pojmy ukázaly v matematice jako velmi užitečné, byly formalizovány pomocí pojmu [[metrický prostor]], což je každá množina vybavená funkcí, která splňuje několik axiomů, které zajišťují jistou míru podobnosti této funkce s klasickou vzdáleností.
V metrických prostorech má každý z těchto pojmů svoji definici pomocí metriky, stejně jako pojem [[otevřená množina]]. Topologie pracuje naopak tak, že se stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin (místo pojmu metrika).
 
Pojem "Topologický prostor" vznikl proto, aby bylo možné mnoho metrických pojmů (viz příklady výše) rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru]]. Příkladem takových množin jsou [[Ordinální číslo|ordinální čísla]].
 
V metrických prostorech má každý z těchto pojmů svoji definici pomocí metriky, stejně jako pojem [[otevřená množina]]. Topologie pracuje naopak tak, že se stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin (místonikoli pojmupmocí metrikametriky).
 
Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. [[nosná množina]]) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy, které topologický prostor definují.
 
Každý metrický prostor je automaticky topologickým prostorem, protože systém otevřených množin tyto axiomy vždy splňuje. Potom pojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.
 
Metrické a topologické prostory jsou příkladem [[Matematická struktura|abstraktní struktury]], která umožňuje dokázat větu jednou (např. "V každém kompaktním topologickém prostoru platí, že...") a [[Strukturní přístup|tím je ihned ověřena]] pro mnoho různých množin, které vyhovují definici (v tomto případě definici kompaktního topologického prostoru).
 
Topologie je velmi abstraktní věda; v porozumění definicím a větám pomáhá si je nejprve představit na reálných číslech, poté v rovině či [[Euklidovský prostor|euklidovském prostoru]] <math> \R^n \,\!</math>, poté na metrickém prostoru a nakonec v obecném topologickém prostoru.
 
== Definice ==