Metrický prostor: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
m →‎Příklady: formulace, zvýraznění
Řádek 69:
* V každém [[Riemannův prostor|Riemannově prostoru]] je možné definovat vzdálenosti bodů.
 
== Porovnání metrik ==
Mějme na neprázdné [[množina|množině]] <math>\mathbf{M}</math> dvě libovolné metriky <math>\rho_1, \rho_2</math>. Následující výroky jsou ekvivalentní:
* každá množina <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> [[otevřená množina|otevřená]] v metrice <math>\rho_1</math> je otevřená také v metrice <math>\rho_2</math>
Řádek 81:
Uvedená tvrzení definují vztah mezi metrikami <math>\rho_1</math> a <math>\rho_2</math>. Je-li přitom <math>\rho_1 \ne \rho_2</math>, pak o takto definovaných metrikách říkáme, že <math>\rho_2</math> je ''silnější'' než <math>\rho_1</math> (nebo <math>\rho_1</math> je ''slabší'' než <math>\rho_2</math>).
 
== Ekvivalence metrik ==
 
O metrikách <math>\rho_1, \rho_2</math> na <math>\mathbf{M}</math> řekneme, že jsou ''ekvivalentní'' tehdy, když každá množina <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> je otevřená v metrice <math>\rho_1</math> právě tehdy, když je otevřená v metrice <math>\rho_2</math>. Jsou-li metriky<math>\rho_1, \rho_2</math> ekvivalentní, pak pro každou množinu <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> platí <math>\mathrm{cl}_1 \mathbf{X} = \mathrm{cl}_2 \mathbf{X}</math>, kde <math>\mathrm{cl}_i \mathbf{X}</math> je [[uzávěr množiny]] <math>\mathbf{X}</math> v metrice <math>\rho_i</math>. Jestliže jsou metriky <math>\rho_1, \rho_2</math> ekvivalentní, pak pro každou množinu <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> také platí <math>\mathrm{int}_1 \mathbf{X} = \mathrm{int}_2 \mathbf{X}</math>, kde <math>\mathrm{int}_i \mathbf{X}</math> je [[vnitřek množiny]] <math>\mathbf{X}</math> v metrice <math>\rho_i</math>.
 
 
== Hlavní pojmy a výsledky ==