Metrický prostor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Členění (aby byl zřetelněji označen konec seznamu axiomů) |
Odboural sekci "související články" a rozčlenil příklady |
||
Řádek 41:
== Příklady ==
* Množina [[reálné číslo|reálných čísel]] spolu s metrikou <math>\rho (x, y) = |x - y|</math> ([[absolutní hodnota]]), kde <math>x,y</math> jsou libovolné body množiny <math>\mathbb{R}</math>, tvoří [[úplný prostor|úplný]] metrický prostor.▼
=== Metriky v R<sup>n</sup>===
* Nejjednodušší vícerozměrnou variantou předchozího příkladu je tzv. součtová či [[manhattanská metrika]] (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na [[Manhattan]]u, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os). Ta je na množině <math>\mathbb{R}^n</math> (tj. v rovině, v prostoru, případně ve vícerozměrném prostoru) definována jako▼
▲
Na [[Euklidův prostor|euklidovském prostoru]] <math>\mathbb{R}^n</math> (tj. v rovině, v prostoru, případně ve vícerozměrném prostoru) lze definovat metriku mnoha způsoby, z nichž nejběžnější jsou:
▲*
*:<math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + \cdots + |x_n - y_n|</math>
* Na množině <math>\mathbb{R}^n</math> lze definovat tzv. [[Euklidovská metrika|euklidovskou metriku]], která vyjadřuje délku [[úsečka|úsečky]] mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá [[euklidovský prostor]] [[dimenze]] <math>n</math> a označuje se <math>E_n</math>. Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též [[Pythagorova věta]]):
Řádek 48 ⟶ 53:
* Jinou metriku lze na <math>\mathbb{R}^n</math> definovat vztahem
*:<math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \max\{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \ldots, |x_n - y_n| \}</math>
=== Příklady metrik na množinách funkcí ===
*Libovolná neprázdná množina s [[diskrétní metrika|diskrétní metrikou]] definovanou:▼
*:<math>\rho (x,x) = 0</math> a <math>\rho (x,y) = 1</math> pro <math>x \neq y</math> ▼
tvoří metrický prostor.▼
* Metrickým prostorem <math>C(\langle a, b\rangle)</math> nazýváme prostor všech [[spojitá funkce|spojitých funkcí]] na [[interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle a, b\rangle\,\!</math> s metrikou
*:<math>\rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}</math>
* „Rozdílnost“ dvou spojitých funkcí na intervalu <math>(a, b)</math> měří tzv. [[integrál]]ní metrika
*:<math>\rho(f, g) = \int_a^b{|f(x) - g(x)| \mbox{d}x}</math>
=== Příklady na diskrétních množinách ===
▲*Libovolná neprázdná množina s [[diskrétní metrika|diskrétní metrikou]] definovanou:
▲*:<math>\rho (x,x) = 0</math> a <math>\rho (x,y) = 1</math> pro <math>x \neq y</math>
▲tvoří metrický prostor.
* [[Levenshteinova vzdálenost]] vyjadřuje podobnost (resp. rozdílnost) dvou [[textový řetězec|textových řetězců]], kterou vyjadřuje jako počet změn (tj. nahrazení, vložení nebo vypuštění znaku), které jsou potřeba k transformaci jednoho řetězce v druhý.
* Délka nejkratší cesty v [[graf (teorie grafů)|grafu]] je metrikou na vrcholech tohoto grafu (který musí být neorientovaný a spojitý).
=== Další příklady ===
* V každém [[Riemannův prostor|Riemannově prostoru]] je možné definovat vzdálenosti bodů.
==Porovnání metrik==
Mějme na neprázdné [[množina|množině]] <math>\mathbf{M}</math> dvě libovolné metriky <math>\rho_1, \rho_2</math>. Následující výroky jsou ekvivalentní:
Řádek 108 ⟶ 117:
Metrický prostor je velmi obecná struktura umožňující pracovat jednotně s mnoha různými druhy množin (množiny bodů, množiny funkcí apod.). Přesto je možno mnohé pojmy z metrických prostorů (například "uzavřená množina" nebo "spojité zobrazení") definovat ještě podstatně obecněji v pojmu [[topologický prostor]]. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem, ovšem nikoli opačně. Topogické prostory tedy umožňují studovat vlastnosti ještě širší skupiny množin, než metrické prostory. Tím se zabývá oblast matematiky zvaná [[Topologie|topologie]].
| |||