Wikipedie

Teorie kategorií: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Příklady kategorií
Opravil překlepy v ranních editacích
Řádek 1:
'''Teorie kategorií''' je odvětví [[matematika|matematiky]], které zobecňuje pohled na matematické struktury a vztahy mezi nimi. Proto je sjednodujícím pojmem, který umožňuje vidět spojitosti mezi různými disciplínami, jako je například mnoho odvětví matematiky, některé oblasti [[teoretická informatika|teoretické informatiky]] a [[matematická fyzika|matematické fyziky]], kde jsou používány jako sjednocující pojem.
 
== Úvod ==
 
Příkladem kategorie je:
* Kategorie grup: objektem v této kategorii je jakákoli grupa, morfismem z grupy ''a'' do grupy ''b'' jsou grupové [[Homomorfismus|homomorfismy]].
* Kategorie '''Set''' všech množin: objektem je jakákoli množina, morfismem z množnymnožiny ''a'' do množiny ''bBb'' je jakékoli zobrazení, jehož definiční obor je celá množina ''a'' a obor hodnot je podmnožinou ''b''.
 
Teorie kategorií studuje vlastnosti, které lze o matematických strukturách říci, aniž bychom mluvili o jejich prvcích; smíme mluvit jen o objektech, morfismech a využívatskládání tato faktamorfismů: Pokud f je morfismus z objektu ''a'' do ''b'' a ''g'' je morfismus z ''b'' do ''c'', pak existuje [[Skládání zobrazení|složený morfismus]] ''g'' o ''f'' z ''a'' do ''c''. Toto skládání je [[Asociativita|asociativní]] a pro každý objekt ''A'' existuje jednotkový homomofismus 1<sub>''a''</sub> z ''a'' do ''a'' tak, že ''f'' o 1<sub>''a''</sub> = ''f'' (pro každý morfismus ''f'' z jakéhokoli objektu ''b'' do ''a'') a podobně 1<sub>''a''</sub> o ''g'' = ''g'' pro každý morfismus z ''a'' do ''b''.
* Pokud f je morfismus z objektu ''a'' do ''b'' a ''g'' je morfismus z ''b'' do ''c'', pak existuje [[Skládání zobrazení|složený morfismus]] ''g'' o ''f'' z ''a'' do ''c''. Toto skládání je asociatívní a pro každý objekt ''A'' existuje jednotkový homomofismus 1<sub>''a''</sub> z ''a'' do ''a'' tak, že ''f'' o 1<sub>''a''</sub> = ''f'' (pro každý morfismus ''f'' z jakéhokoli objektu ''b'' do ''a'') a podobně 1<sub>''a''</sub> o ''g'' = ''g'' pro každá morfismus z ''a'' do ''b''.
 
Příklad: V kategorii [[Abelova grupa|komutatívníchkomutativních grup]] uvažujme grupy Z, Q, R celých, racionálních a reálních čísel. Mějme tato zobrazení
:::: f: Z → Q tak, že f(x) = 10x
:::: g: Q → R tak, že g(x) = 2x
Řádek 18 ⟶ 17:
::: ''j(x) = x'' pro každé racionální číslo x
 
=== Definice pojmů pomocí morfismů ===
 
PojemTeorie kategorií definuje pojmy tak, aby nebylo nutné mluvit o prvcích zkoumaných struktur. Například pojem [[prosté zobrazení]] je obvykle definován takto: zobrazení ''f'' z množiny ''A'' do ''B'' je prosté, pokud pro každé x,y <math>\in</math> A, x <math>\neq</math> y , platí f(x) <math>\neq</math> f(y).
 
Obdobný pojem v teorii kategorií zní: Morfismus ''f'' z objektu ''a'' do ''b'' je ''monomorfismus'', pokud pro každý objekt C a morfismy ''g, h'' z ''c'' do ''a'' platí: pokud ''fg = fh'', pak ''g = h''.
Řádek 31 ⟶ 30:
Stejným způsobem lze o každém zobrazení, které není prosté, ukázat, že v kategorii množin není monomorfismem. Na druhou stranu, pokud zobrazení není monomorfismem, pak pro nějakou množinu ''c'', zobrazení ''f'', ''g'' a prvek x <math>\in</math> ''c'' platí, že ''g(x) <math>\neq</math> h(x)'', ale ''f(g(x)) = f(h(x))''. Prvky ''g(x)'' a ''h(x)'' pak dosvědčují, že ''f'' není prosté.
 
'''Podobným způsobem teorie kategorií definuje pomocí objektů a morfismů (bez odkazů na prvky těchto objektů) mnoho pojmů, jejichž obvyklá definice s prvky pracuje.''' To umožňuje studovat společné vlastnosti zdánlivě nesouvisejících a navzájem velmi odlišných struktur, které mají sice úplnězcela jiné prvky, ale jejejich nějakíámorfismy podobnostvykazují mezinějakou vlastnostmipodobnost. jejich morfismů.
 
== Další příklady kategorií ==
Řádek 39 ⟶ 38:
* Každý [[monoid]] tvoří malou kategorii s jediným objektem ''x''. Morfismy z ''x'' do ''x'' jsou prvky monoidu, a skládání morfismů je dáno operací na monoidu.
* Kategorie '''Top''' je kategorie nazývaná kategorií [[topologický prostor|topologických prostorů]]. Objekty této kategorie jsou topologické prostory a morfizmy mezi objekty jsou [[spojité zobrazení|spojitá zobrazení]] mezi těmito objekty.
* Pro každou [[Predikátová logika prvního řádu|predikátovou]] [[Formální teorie|teorii]] je kategorií třída všech [[Model (logika)|modelů]] této teorie, přičemž morfismy jsou [[Elementární vnoření|elementární vnoření]]
 
Vzhledem k tomu, jak široký okruh struktur lze teorií kategorií popsat, bývá pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější z matematických disciplín.
 
== Definice ==
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Teorie_kategorií“