Hamiltonovská formulace mechaniky: Porovnání verzí

Doplnění postupu u příkladu, aby nebyl tak krátký
(Doplnění postupu u příkladu, aby nebyl tak krátký)
 
=== Příklad ===
Příkladem Hamiltonových rovnic mohou být rovnice pro jednorozměrný [[pohyb]] [[volná částice|volného]] [[hmotný bod|hmotného bodu]],. kteréVyjdeme majíz tvarLagrangiánu <math>L=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\dot{q}^2</math>.
 
:<math>\dot{q} = \frac{p}{m}</math>
Zobecněná hybnost je pak <math>p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{1}{2}m\cdot 2\dot{q}=m\dot{q}=mv</math>. Tedy inverzí získáváme (později musíme hamiltonián vyjádřit v proměnných <math>q</math> a <math>p</math>, nikoli <math>\dot{q}</math>) <math>\dot{q}=\frac{p}{m}</math>.
:<math>\dot{p} = 0</math>
 
Dosazením do definice hamiltoniánu dostáváme
 
<math>H = p\dot{q} - L = \frac{p^2}{m} - \frac{1}{2}m\dot{q}^2 = \frac{p^2}{m} - \frac{1}{2}m\frac{p^2}{m^2}=\frac{1}{2}\frac{p}{m} = \frac{p^2}{2m}</math>.
 
Nakonec dosadíme do Hamiltonových kanonických rovnic, které mají tvar
 
:<math>\dot{q} = \frac{\part H}{\part p} = \frac{p}{m}</math> a
:<math>\dot{qp} = -\frac{p\part H}{m\part q} = 0</math>.
 
Tedy vidíme, že rychlost částice (<math>v</math>, neboli <math>\dot{q}</math>) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy že částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.
 
== Související články ==
104

editací