Holomorfní funkce: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
prvni verze - zatim jen pahyl (preklad z en) |
rozsireni clanku |
||
Řádek 6:
:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }.</math>
Má-li tato limita existovat, musí (podle [[Heineho věta|Heineho věty]]) existovat a mít stejnou hodnotu jako [[limita posloupnosti]] pro každou [[poslupnost]] mající hromadný bod v ''z''<sub>0</sub>. Takto definovaná [[komplexní derivace|derivace]] má některé společné vlastnosti s [[derivace|derivací]] reálnou - řídí se [[leibnitzovo pravidlo|Leibnitzovým pravidlem]], [[řetízkové pravidlo|Řetízkovým pravidlem]] a je [[linearita|lineární]] vůči násobení.
Má-li funkce ''f'' komplexní derivaci ve všech bodech množiny ''Ω'', potom řekneme, že je ''f'' na ''Ω'' ''holomorfní''.
Ekvivalentní podmínkou holomorfnosti funkce ''f''(''x''+i''y'') = ''u''(''x'',''y'')+i''v''(''x'',''y''), kde ''u'', ''v'', ''x'', ''y'' jsou reálné, je splnění [[Cauchy-Riemannovy vzorce|Cauchy-Riemannových vztahů]] spolu se spojitostí [[parciální derivace|parciálních derivací]] ''u'', ''v'' podle ''x'', ''y''.
==Vlastnosti holomorfních funkcí==
Platí, že [[součin]] a [[součet]] dvou holomorfních funkcí je opět holomorfní funkce, [[dělení|podíl]] dvou holomorfních funkcí je holomorfní funkce není-li jmenovatel nulový. [[Polynom]]y a všechny [[stejnoměrná konvergence|stejnoměrně konvergentní]] [[řada (matematika)|řady]] z nich utvořené jsou holomorfní funkce (tedy např. funkce [[sinus]], [[kosinus]], [[exponenciála]], neboť je lze napsat jako součet mocninné řady na celé [[komplexní rovina|komplexní rovině]]).
[[Derivace]] holomorfní funkce (z definice) existuje a je opět holomorfní funkce. Pokud je definována podél dané [[křivka|křivky]] [[hladká funkce]] (tedy zejména např. všechny reálné hladké funkce), existuje lokálně jednoznačný způsob jak danou funkci rozšířit do zbytku komplexní roviny. Tomuto procesu se říká ''[[holomorfní prodloužení|holomorfní]]'' nebo ''[[analytické prodloužení]]''. Lze jej provést více způsoby, např. pomocí [[Cauchyho-Riemannovy podmínky|Cauchyho-Riemannových podmínek]].
Kolem bodu ''z''<sub>0</sub> holomorfní funkce lze tuto jednoznačně rozvinout do [[Taylorova řada|Taylorovy]], nebo obecněji [[Laurentova řada|Laurentovy řady]] (a to i v případě, že zde má tato funkce [[singularita (komplexní analýza)|singularitu]]). V prvním případě k dané funkcí řada konverguje stejnom2rn2 na kružnici
:<math>\left|z-z_0\right|<\omega,</math>
kde ''ω'' je vzdálenost k nejbližšímu bodu, kde funkce není holomorfní (tedy zpravidla nejbližsí [[singularita (komplexní analýza)|singularitě]]).
== Viz také ==
*[[Meromorfní funkce]]
*[[Celá funkce]]
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
| |||