Axiom výběru: Porovnání verzí

Přidáno 18 bajtů ,  před 12 lety
gramaticky spravne nazvy + uprava linku
m (robot změnil: ca:Axioma de l'elecció)
(gramaticky spravne nazvy + uprava linku)
'''Axiom výběru''' (ozn. '''(AC)''') je [[axiom]] často přidávaný k obvyklým axiomům [[ZermeloZermelova-Fraenkelova teorie množin|ZermeloZermelovy-Fraenkelovy]] [[teorie množin]] (ZF). Poprvé jej formuloval [[Ernst Zermelo]] v roce [[1904]].
 
== Formulace ==
 
== Motivace pro odmítnutí AC ==
Odpůrci zařazení (AC) mezi standardní axiomy teorie množin (například [[konstruktivismus|konstruktivisté]]) poukazují na jeho odlišný charakter od ostatních podobných axiomů teorie množin, které obvykle postulují možnost vytvoření nové množiny z již existujících množin jednoduchým a přehledným způsobem (viz [[ZermeloZermelova-Fraenkelova teorie množin#Axiom sumy|axiom sumy]], [[ZermeloZermelova-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|axiom potence]], [[ZermeloZermelova-Fraenkelova teorie množin#Axiom dvojice|axiom dvojice]]). Na rozdíl od nich (AC) nedává žádnou představu o tom, jak výběrová funkce (viz formulace axiomu) vypadá – je tedy spíše „čistě existenční“ než „konstrukční“.
 
Druhým argumentem je, že (AC) příliš omezuje rozmanitost objektů ve světě teorie množin – podle principu dobrého uspořádání ekvivalentního s (AC) lze každou množinu uspořádat tak, aby byla [[izomorfismus|izomorfní]] s některým [[ordinální číslo|ordinálním číslem]] – to tvrzení tak vlastně říká, že teorie množin nepopisuje žádné objekty, které by nešlo dobře uspořádat.
 
== Nezávislost AC na axiomech ZF ==
(AC) je [[bezespornost|bezesporný]] neboli [[konzistentnostBezesporná teorie|konzistentní]] s ostatními [[axiom]]y ZermeloZermelovy-Fraenkelovy teorie množin (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom [[model (logika)|modelu]] teorie množin, a to v univerzu [[konstruovatelná množina|konstruovatelných množin]], což dokázal v roce [[1940]] [[Kurt Gödel]]. V tomto modelu platí dokonce [[axiom silného výběru]] a dále například [[zobecněná hypotéza kontinua]].
 
Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je [[nezávislost (logika)|nezávislý]] na axiomech ZF. Přidáním negace (AC) k ZF však vzniká již teorie s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické [[Heineho věta|Heineho věty]]).
== Související články ==
{{Portál Matematika}}
*[[ZermeloZermelova-Fraenkelova teorie množin]]
*[[Hypotéza kontinua]]
*[[Konstruovatelná množina]]