|
'''Limita''' je [[matematika|matematická]] konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty posloupnosti nebo funkce blíží nějakému číslu. Právě toto číslo je pak označováno jako limita.
HOVNO
== Limita posloupnosti ==
[[Posloupnost (matematika)|Posloupnost]] <math>\left( a_n \right) _{n=1} ^\infty</math> má limitu ''A'', pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo <math>\varepsilon</math> platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od ''A'' vzdáleny méně, než <math>\varepsilon</math>.
Zapsáno symbolicky:
<math>\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon</math>
Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
===Důkaz jednoznačnosti limity===
Budeme dokazovat [[důkaz sporem|sporem]], předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost <math>\left(a_i\right)_{i=1}^\infty</math>, která má dvě limity: <math>A</math> a <math>B</math>, přičemž <math>A \neq B</math>.
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že <math>A > B</math>.
Platí:
<math>\forall \varepsilon > 0: \exists n_1 \in \mathbb{N} : \forall n \geq n_1 : \left| a_n - A \right| < \varepsilon</math>
a
<math>\forall \varepsilon > 0: \exists n_2 \in \mathbb{N} : \forall n \geq n_2 : \left| a_n - B \right| < \varepsilon</math>
Označme <math>n_0</math> větší z čísel <math>n_1</math>, <math>n_2</math>. Pak pro všechna epsilon, tedy i pro <math> \epsilon = {(A - B) / 2} </math> a pro nějaké <math>k > n_0</math> platí:
<math>|A - a_k| < {(A - B) / 2} </math> a <math> |B - a_k| < {(A - B) / 2}</math>
Tedy vzdálenost <math>a_k</math> od bodu <math>A</math> i od bodu <math>B</math> je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.
===Konvergence posloupnosti===
Pokud k libovolnému číslu <math>\varepsilon>0</math> existuje [[přirozené číslo]] <math>n_0</math> takové, že pro všechna <math>n>n_0</math> platí <math>|a_n-A|<\varepsilon</math>, pak říkáme, že posloupnost <math>(a_n)</math> má (''vlastní'', ''konečnou'') ''limitu'' <math>A</math>, popř. že ''posloupnost [[konvergence|konverguje]]'' k číslu <math>A</math>. Konvergenci posloupnosti k <math>A</math> zapisujeme
:<math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math>
Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako '''konvergentní'''. V opačném případě hovoříme o '''divergentní''' posloupnosti.
K ověření konvergence lze použít tzv. ''[[Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[Augustin Louis Cauchy|Cauchyovu]] podmínku'', která říká, že existuje-li ke každému <math>\varepsilon>0</math> takové přirozené číslo <math>n_0</math>, že pro libovolnou dvojici indexů <math>m>n_0, n>n_0</math> platí <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>, pak je posloupnost <math>(a_n)</math> konvergentní. Jedná se o [[nutná a postačující podmínka|nutnou a postačující podmínku]] konvergence posloupnosti.
===Bodová a stejnoměrná konvergence===
O [[posloupnost (matematika)|funkční posloupnosti]] <math>(f_n(x))</math> říkáme, že '''(bodově) konverguje''' k '''limitní funkci''' <math>f(x)</math>, pokud pro každé <math>x_0 \in \mathbf{I}</math> existuje vlastní limita <math>\lim_{n \to \infty} f_n(x_0)=f(x_0)</math>. Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost <math>(f_n(x))</math> označíme jako '''divergentní'''.
Pokud lze pro libovolné <math>\varepsilon>0</math> najít takové <math>n_0</math>, které je stejné pro všechny body <math>x \in \mathbf{I}</math>, a pro všechna <math>n>n_0</math> a všechny body <math>x \in \mathbf{I}</math> platí
:<math>\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon</math>
pak posloupnost <math>(f_n(x))</math> označíme jako '''stejnoměrně konvergentní'''.
Posloupnost je na daném intervalu stejnoměrně konvergentní, konverguje-li v každém bodě <math>x</math> přibližně stejně rychle.
Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost <math>(f_n(x))</math> na [[interval (matematika)|intervalu]] <math>\mathbf{I}</math> stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému <math>\varepsilon>0</math> najít takové [[přirozené číslo]] <math>n_0</math>, že pro každou dvojici <math>n>n_0, m>n_0</math> a každé <math>x \in \mathbf{I}</math> platí
:<math>\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\varepsilon</math>
Pokud jsou funkce <math>f_n(x)</math> na intervalu <math>\mathbf{I}</math> [[spojitá funkce|spojité]] a posloupnost <math>(f_n(x))</math> je na <math>\mathbf{I}</math> stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu <math>\mathbf{I}</math> spojitá také limitní funkce <math>f(x)</math>.
===Vlastnosti konvergentní posloupnosti===
Mějme dvě [[konvergentní]] posloupnosti <math>(a_n), (b_n)</math>, pro které platí <math>\lim_{n \to \infty}a_n=a, \lim_{n \to \infty} b_n=b</math>. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní.
:<math>\lim_{n \to \infty}(a_n \pm b_n)=a \pm b</math>
:<math>\lim_{n \to \infty}k a_n = k a</math>
:<math>\lim_{n \to \infty} \left|a_n\right| = \left|a\right|</math>
:<math>\lim_{n \to \infty} a_n b_n = a b</math>
:<math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \; \mbox{ pro } b\ne 0</math>
Z posloupnosti <math>(b_n)</math> jsou vynechány všechny [[nula|nulové]] členy, kterých je konečný počet, neboť <math>b \ne 0</math>.
Máme-li dvě konvergentní posloupnosti <math>(a_n), (b_n)</math>, pro které platí <math>\lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=b</math>, pak jestliže pro každé <math>n</math> je <math>a_n \leq b_n</math>, pak je také <math>a \leq b</math>.
Máme-li dvě konvergentní posloupnosti <math>(a_n), (b_n)</math>, pro které platí <math>\lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=a</math>, pak jestliže existuje posloupnost <math>(c_n)</math> taková, že pro každé <math>n</math> je <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math>, pak platí také <math>\lim_{n \to \infty}c_n=a</math>.
Je-li <math>(a_{k_n})</math> podposloupnost posloupnosti <math>(a_n)</math> a platí <math>\lim_{n \to \infty} a_n=a</math>, pak platí také <math>\lim_{n \to \infty} a_{k_n}=a</math>.
Platí ''[[Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[Karl Weierstrass|Weierstrassova]] věta'': Je-li <math>\mathit(a_n)</math> omezená posloupnost v <math>\mathbb{R}</math>, pak z ní lze vybrat posloupnost <math>\mathit(a_{k_n})</math>, která je [[konvergence|konvergentní]].
Tato věta je založena na [[axiom výběru|axiomu výběru]]. Proto v některých logických systémech (např. [[intuicionistická logika]]) neplatí.
Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden [[hromadný bod posloupnosti|hromadný bod]]. Pokud je těchto hromadných bodů více (i [[nekonečno|nekonečně]] mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší (tzv. ''[[limes superior]]'' a ''[[limes inferior]]'' dané posloupnosti), což zapisujeme
:<math>\lim_{n \to \infty} \sup a_n</math>
:<math>\lim_{n \to \infty} \inf a_n</math>
Posloupnost <math>(a_n)</math> je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud <math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup a_n = \lim_{n \to \infty} \inf a_n = a</math>
Konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.
== Limita funkce ==
| 