Reziduum (matematika): Porovnání verzí

:<math>a_{-1} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z</math>

 

Mějme [[jednoduchá křivka|jednoduchou]] [[konečná křivka|konečnou]] po částech [[hladká křivka|hladkou]] uzavřenou [[křivka|křivku]] <math>c</math>, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku <math>\mathbf{G}</math>. Uvažujme funkci <math>f(z)</math>, která je v <math>\mathbf{G}</math> [[holomorfní funkce|holomorfní]] s výjimkou konečného počtu singulárních bodů <math>z_1, z_2, ..., z_n</math> a s výjimkou těchto bodů [[spojitá funkce|spojitá]] v <math>\mathbf{G} \cup c</math>. Pak [[integrál]] <math>\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z</math> je roven [[součet|součtu]] reziduí funkce <math>f(z)</math> v bodech <math>z_1, z_2, ..., z_n</math>, tzn.

:<math>\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z = \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}</math>,

kde <math>\mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}</math> označuje reziduum funkce <math>f(z)</math> v bodě <math>z_k</math>.

 

Má-li [[holomorfní funkce]] ''f'' definovaná alespoň na okolí ''D'' = {''z'': 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě ''c'' [[pól (komplexní analýza)|pól]] prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

 

{1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz</math>

 

 

:<math>\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{g(c)}{h'(c)}.</math>

Může-li být ''f'' [[holomorfní rozšíření|holomorfně rozšířena]] na celý disk { ''z'' : |''z'' − ''c''| < ''R'' }, potom Res[''f'']_''z''=''c'' = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

 

* [[Laurentova řada]]

 

[[ja:留数]]

[[ko:유수 (복소해석학)]]

[[pl:Residuum]]

[[pt:Resíduo (análise complexa)]]