Wikipedie

Antisymetrická relace: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
JAnDbot (diskuse | příspěvky)
Roboti
1 711 609 editací
m robot přidal: eo, fa, hu, ja, ru, uk
Lukax (diskuse | příspěvky)
1 164 editací
sloučil jsem do tohoto hesla Slabě antisymetrickou relaci
Řádek 1:
'''Antisymetrická relace''' je matematický pojem označující relaci, ve které nenastává situace, že by a bylo v relaci b a zároveň b v relaci s a. Podle toho, mohou-li a, b zastupovat stejné prvky, se liší pojem slabé a silné antisymetrie.
V [[matematika|matematice]] se [[binární relace]] ''R'' na [[množina|množině]] ''X'' nazývá '''antisymetrická''' (nebo '''slabě symetrická'''), platí-li pro všechna ''a'' a ''b'' z ''X'', kde <math>a\neq b</math>, že jestliže ''a'' je v relaci s ''b'' a pak ''b'' není v relaci s ''a''.▼
 
== Typy ==
*=== [[Slabě antisymetrická relace]] ===▼
 
[[Binární relace]] ''R'' na [[množina|množině]] ''X'' nazývá '''slabě antisymetrická''', platí-li pro všechna ''a'' a ''b'' z ''X'', že jestliže ''a'' je v relaci s ''b'' a ''b'' je v relaci s ''a'', pak ''a''&nbsp;=&nbsp;''b''.
 
Formálně zapsáno:
 
:<math>(\forall a, b \in X) (a R b \and b R a \neq b; \Rightarrow \neg(b R; a) = b)</math>
 
„Je menší“menší nebo rovno“ je slabě antisymetrická relace,: jelikož ''<math>a'' <\leq ''b'' \and b \leq a</math> je nemožné pro různá ''ba'' <a ''ab'', je nemožnéslabá antisymetrie zřejmá.
 
AntisymetrieSlabá neníantisymetrie pravýmnení opakem ''[[symetrická relace|symetrie]]'' (''aRb'' implikuje ''bRa''). Existují relace, které jsou jak symetrické, tak slabě antisymetrické (jakákoliv podmnožina [[rovnost (matematika)|rovnostirovnost]]), existují i relace, které nejsou ani symetrické, ani slabě antisymetrické ([[dělitel]]nost v [[okruh (algebra)|okruhu]] [[celé číslo|celých čísel]]), existují relace, které jsou symetrické, ale nejsou slabě antisymetrické (rovnost[[dělení modulo]] ''p'', kde p je [[prvočíslo]]), a existují relace, které nejsou symetrické, ale jsou slabě antisymetrické („je menší“, „je menší nebo rovno“).
 
AntisymetrickáSlabě antisymetrická relace, která je zároveň [[Tranzitivní relace|tranzitivní]] a [[reflexivní relace|reflexivní]] se nazývá [[neostré uspořádání]] (nebo jen [[uspořádání]]).▼
 
=== Silně antisymetrická relace ===
 
▲V [[matematika|matematice]] se [[binárníBinární relace]] ''R'' na [[množina|množině]] ''X'' nazývá '''antisymetrická''' (nebo '''slabě symetrická'''), platí-li pro všechna ''a'' a ''b'' z ''X'', kde <math>a\neq b</math>, že jestliže ''a'' je v relaci s ''b'' a pak ''b'' není v relaci s ''a''.
 
Formálně zapsáno:
 
:<math>(\forall a, b \in X) (a R b \Rightarrow \neg(b R a))</math>
Antisymetrická relace, která je zároveň [[Tranzitivní relace|tranzitivní]] a [[antireflexivní relace|antireflexivní]] se nazývá [[ostré uspořádání]].
 
Tato podmínka vylučuje existenci prvku a, který by byl v relaci sám se sebou -- každá silně antisymetrická relace je proto [[Ireflexivní relace|ireflexivní]].
▲Antisymetrická relace, která je zároveň tranzitivní a [[reflexivní relace|reflexivní]] se nazývá [[uspořádání]].
 
Silně antisymetrická relace je například ostrá nerovnost < na přirozených číslech. To je také příklad [[Ostré uspořádání|ostrého uspořádání]] -- relace, která je silně antisymetrická (z toho ireflexivní) a [[Tranzitivní relace|tranzitivní]].
V české literatuře však jako antisymetrická relace někdy označuje to, čemu se také říká [[silně antisymetrická relace]]. Je zde tedy jistý rozdíl v terminologii.
 
== Související články ==
{{Portál Matematika}}
* [[Relace (matematika)]]
▲* [[Slabě antisymetrická relace]]
* [[Reflexivní relace]]
* [[Tranzitivní relace]]
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Antisymetrická_relace“