Moment setrvačnosti: Porovnání verzí

'''Moment setrvačnosti''' je [[fyzikální veličina]], která vyjadřuje míru [[Setrvačnost|setrvačnosti]] tělesa při [[Otáčivý pohyb|otáčivém pohybu]]. Její velikost závisí na rozložení [[hmota|hmoty]] v [[Těleso|tělese]] vzhledem k [[Osa otáčení|ose otáčení]]. Body (části) tělesa s větší [[Hmotnost|hmotností]] a umístěné ''dál od osy'' mají větší moment setrvačnosti.

 

* Symbol veličiny: ''J'' , někdy také ''I''

* Základní jednotka [[soustava SI|SI]]: [[kilogram]] krát [[metr]] na druhou, značka [[Fyzikální jednotka|jednotky]]: kg . m²

 

Při [[otáčivý pohyb|otáčivém pohybu]] [[soustava hmotných bodů|soustavy hmotných bodů]] kolem nehybné [[osa|osy]] opisují jednotlivé [[hmotný bod|hmotné body]] [[kružnice]], jejichž středy leží na [[osa otáčení|ose otáčení]]. [[Úhlová rychlost]] <math>\omega</math> všech bodů je stejná.

 

:<math>J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2</math>

 

V [[mechanika kontinua|mechanice kontinua]] (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

:<math>J = \int_M r^2 \mathrm{d}m</math>,

:<math>J = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V</math>

 

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa <math>M</math> a čtverce jisté střední vzdálenosti <math>R</math>, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

:<math>J = MR^2</math>

[[Vzdálenost]] <math>R = \sqrt{\frac{J}{M}}</math> se nazývá '''poloměr setrvačnosti''' nebo '''gyrační poloměr'''.

 

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

 

:<math>J = mr^2</math>

 

{{viz též|Steinerova věta}}

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo [[těžiště]] tělesa lze určit podle [[Steinerova věta|Steinerovy věty]] jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k [[rovnoběžky|rovnoběžné]] ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

kde <math>J_0</math> je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, <math>m</math> je hmotnost tělesa a <math>r_T</math> je [[kolmost|kolmá]] vzdálenost těžiště od osy otáčení.

 

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy <math>S</math> [[úhlová rychlost|úhlovou rychlostí]] <math>\mathbf{\omega}</math>, má [[kinetická energie]] tohoto rotačního pohybu hodnotu

:<math>E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2</math>,

kde symbol <math>\otimes</math> představuje [[tenzorový součin]], jehož výsledkem je [[symetrická matice|symetrická]] [[čtvercová matice]].

 

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k [[rovina|rovině]], kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

 

:<math>J_z = J_{yz} + J_{zx}</math>

 

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. '''polární moment setrvačnosti'''.

 

* [[Steinerova věta]]

 

* Landau LD and Lifshitz EM (1976) ''Mechanics'', 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

* Goldstein H. (1980) ''Classical Mechanics'', 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

[[da:Inertimoment]]

[[de:Trägheitsmoment]]

[[en:Moment of inertia]]

[[es:Momento de inercia]]