Hamiltonovská formulace mechaniky: Porovnání verzí

Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást [[teoretická mechanika|teoretické mechaniky]] a objevil ji v roce [[1833]] [[William Rowan Hamilton]]. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve [[statistická fyzika|statistické fyzice]], ale především při přechodu ke [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]].

 

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají [[zobecněná souřadnice|zobecněné souřadnice]] a [[zobecněná hybnost|zobecněné hybnosti]], přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné [[proměnná|proměnné]] ve [[fázový prostor|fázovém prostoru]]. Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných [[transformace|transformací]] přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové souřadnice se označují jako [[kanonická transformace|kanonické]] a je při nich požadováno, aby si [[Hamiltonova rovnice|Hamiltonovy rovnice]] zachovávaly svůj tvar. [[Invariant (matematika)|Invariantem]] kanonických transformací je tzv. [[Poissonova závorka]]. [[Pohyb]] mechanických systémů lze pak chápat jako kanonickou transformaci.

 

[[Diferenciál (matematika)|Diferenciací]] [[Hamiltonova funkce|Hamiltonovy funkce]] dostaneme

:<math>\mathrm{d}H = \sum_i \left( \frac{\part H}{\part q_i}\mathrm{d}q_i + \frac{\part H}{\part p_j}\mathrm{d}p_j \right) + \frac{\part H}{\part t}\mathrm{d}t = </math>

Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s <math>n</math> [[stupeň volnosti|stupni volnosti]] [[soustava rovnic|soustavu]] <math>2n</math> [[diferenciální rovnice|diferenciálních rovnic]] prvního řádu pro <math>2n</math> neznámých [[funkce (matematika)|funkcí]] [[čas]]u <math>q_i(t), p_i(t), i = 1, 2, ..., n</math>. Tyto rovnice jsou nižšího řádu než [[Lagrangeova rovnice|Lagrangeovy rovnice]] a jejich pravé strany nezávisí na [[derivace|derivacích]] hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají '''Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi''' daného systému.

 

Příkladem Hamiltonových rovnic mohou být rovnice pro jednorozměrný [[pohyb]] [[volná částice|volného]] [[hmotný bod|hmotného bodu]], které mají tvar

:<math>\dot{q} = \frac{p}{m}</math>

:<math>\dot{p} = 0</math>

 

* [[Teoretická mechanika]]

* [[Hamiltonova funkce]]

[[ja:ハミルトン力学]]

[[ko:해밀턴 역학]]

[[nl:Hamiltonformalisme]]

[[no:Hamiltonmekanikk]]