Eukleidovská konstrukce: Porovnání verzí

==ZkonstruovatelnáKonstruovatelná čísla==

Euklidovskou konstrukcí lze následovně vytvořit osy souřadnic: Mějme dva body ''A'' a ''B''. Vytvořením přímky protínající ''A'' a ''B'' získáme osu ''x'' s nulou v bodě ''A'' a jednotkou v bodě ''B''. Spuštěním kolmice (ta je také zkonstruovatelnákonstruovatelná) v bodě ''A'' vytvoříme osu ''y''. Vytvoříme kružnici se středem v ''A'' protínající ''B'' a v průsečíku s osou ''y'' získáme jednotku i na druhé ose.

Bodům (''x'',''y'') v tomto [[Euklidovský prostor|Euklidovském prostoru]] lze přiřadit [[komplexní číslo|komplexní čísla]] ''x'' + ''y'' ''[[Imaginární jednotka|i]]''. Bod (''x'',''y'') je '''zkonstruovatelnýkonstruovatelný''', pokud ho lze Euklidovskou konstrukcí vytvořit pouze z počátečních bodů ''A'' a ''B''.

Lze ukázat, že takto lze zkonstruovat všechny body ''x'' + ''y'' ''i'' pro [[racionální číslo|racionální]] ''x'' a ''y''. Zároveň lze pro každá zkonstruovatelnákonstruovatelná ''a'' a ''b'' zkonstruovat ''a'' + ''b'', ''a'' - ''b'', ''a'' × ''b'' a ''a'' / ''b''. ZkonstruovatelnáKonstruovatelná čísla tedy tvoří [[těleso (algebra)|těleso]], které je podtělesem komplexních čísel. Navíc platí, že pro každě zkonstruovatelnékonstruovatelné ''a'' lze zkonstruovat i <math>\sqrt{a}</math>. Na druhou stranou není ale zkonstruovatelnékonstruovatelné žádné [[transcendentní číslo]].

==ZkonstruovatelnéKonstruovatelné úhly==

Lze dokázat, že existuje [[bijekce]] mezi zkonstruovatelnýmikonstruovatelnými [[úhel|úhly]] a body zkonstruovatelnýmikonstruovatelnými na zkonstruovatelnýchkonstruovatelných kružnicích. ZkonstruovatelnéKonstruovatelné úhly tvoří

[[komutativní grupa|komutativní grupu]] se ''[[sčítání]]m [[modulo]] 2[[číslo pí|π]]''. Úhel je zkonstruovatelnýkonstruovatelný právě když číslo odpovídající jeho [[tangens]]u (nebo ekvivalentně i [[sinus|sinu]] a [[kosinus|kosinu]]) je zkonstruovatelnékonstruovatelné. Například pravidelný sedmnáctiúhelník je zkonstruovatelnýkonstruovatelný, protože

==ZkonstruovatelnéKonstruovatelné pravidelné mnohoúhelníky==